Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

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Rodney Josué Biezuner 41 Portanto, para encontrar a solução discretizada temos que resolver o sistema linear com n − 1 equações a n − 1 incógnitas: ⎧⎪ ⎨ ou seja, ⎪⎩ 1 ∆x2 ⎡ 2 −1 ⎢ −1 ⎢ ⎣ 2 −1 −1 . .. . .. ∆x −2 (2u1 + u2) = f1 ∆x −2 (−u1 + 2u2 − u3) = f2 . . ∆x −2 (−un−3 + 2un−2 − un−1) = f2 ∆x −2 (−un−2 + 2un−1) = fn−1 . .. . .. −1 −1 2 −1 −1 2 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ u1 u2 . . un−2 un−1 ⎤ , ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Esta é uma matriz tridiagonal simétrica, esparsa. Além disso, como veremos na próxima subseção, ela é positiva definida (isto é, seus autovalores são positivos) e portanto possui uma inversa, o que garante a existência e unicidade da solução. Dada sua simplicidade, ela pode ser resolvida por eliminação gaussiana ou sua inversa pode ser efetivamente calculada. Por exemplo, para n = 4, 5, 6 temos ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎣ 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ −1 0 0 3 4 1 3 2 3 f1 f2 . . fn−2 fn−1 ⎤−1 ⎡ ⎦ = ⎣ 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 0 1 ⎦ ⎣ 2 3 0 3 0 ⎦ ⎣ 1 2 1 0 ⎦ = 0 0 1 1 1 ⎡ ⎣ 4 = 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 1 4 2 0 0 0 0 3 1 0 4 3 4 1 1 1 1 2 3 2 0 1 −1 ⎤ ⎡ 1 2 0 0 0 4 4 0 0 0 5 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 3 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 3 0 0 0 ⎦ ⎣ A forma da inversa no caso geral pode ser facilmente adivinhada. 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 1 4 2 3 1 0 1 2 4 3 4 ⎤ ⎥ . ⎥ ⎦ ⎤ 3 2 1 2 4 2 1 2 3 ⎥ 1 ⎦ = 5 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎦ , 4 3 2 1 3 6 4 2 2 4 6 3 1 2 3 4 ⎡ 1 1 1 1 2 3 4 ⎢ 2 2 ⎢ 0 1 3 4 = ⎢ 3 ⎢ 0 0 1 4 ⎣ 0 0 0 1 0 0 0 0 = ⎤ ⎡ 1 5 2 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 4 ⎦ ⎣ 5 1 1 2 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 5 6 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 0 1 2 3 1 2 5 0 0 1 3 4 3 5 0 0 0 1 4 5 ⎤ 0 0 ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦ 1 1 ⎡ 5 4 3 2 ⎢ 4 8 6 4 ⎢ 6 ⎢ 3 6 9 6 ⎣ 2 4 6 8 ⎤ 1 2 ⎥ 3 ⎥ 4 ⎦ 1 2 3 4 5 . ⎤ ⎥ ⎦
Rodney Josué Biezuner 42 2.1.3 Resolução Numérica do Problema de Autovalor Unidimensional Os autovalores de Dirichlet do laplaciano em [0, a] devem ser aproximados pelos autovalores da matriz (n − 1) × (n − 1) A = 1 ∆x2 ⎡ 2 −1 ⎤ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 2 −1 −1 . .. . .. . .. . .. −1 −1 2 −1 ⎥ ⎦ −1 2 quando n → ∞ e correspondentemente ∆x → 0. Lembrando que as autofunções de Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, a] são as funções Uj (x) = sen jπx a , este fato sugere que os autovetores uj da matriz A são os vetores de coordenadas Uj (x1) , Uj (x2) , . . . , Uj (xn−2) , Uj (xn−1) = Uj (∆x) , Uj (2∆x) , . . . , Uj ((n − 2) ∆x) , Uj ((n − 1) ∆x) , ou seja, como ∆x = a/n, os vetores 1 θ sin = cos θ 2 2 uj = sen jπ 2jπ (n − 2) jπ (n − 1) jπ , sen , . . . , sen , sen . n n n n Usando identidades trigonométricas, vamos verificar que isso de fato acontece: 2.1 Lema. Os n − 1 autovalores da matriz A são λj = 2 ∆x2 1 − cos jπ = n 4 jπ sen2 , ∆x2 2n j = 1, . . . , n − 1, (2.9) e os autovetores correspondentes são uj = sen jπ 2jπ , sen n n (n − 2) jπ , . . . , sen , sen n (n − 1) jπ , j = 1, . . . , n − 1. (2.10) n
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