Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 40
onde x0 ξ x0 + ∆x no primeiro caso, e x0 − ∆x ξ x0 no segundo caso.
Por outro lado, se subtrairmos (2.2) de (2.1), obtemos
u ′ (x0) = u(x0 + ∆x) − u(x0 − ∆x)
2∆x
− 1
3! u′′′ (x0)∆x 2 − 1
5! u(5) (x0)∆x 4 − . . .
o que dá uma outra aproximação possível para a primeira derivada u ′ (x0) de u em x0:
u ′ (x0) ≈ u(x0 + ∆x) − u(x0 − ∆x)
2∆x
com erro
ɛ = − 1
6 u′′′ (ξ)∆x 2 = O(∆x 2 ),
para algum x0 − ∆x ξ x0 + ∆x. Esta aproximação por diferença finita é chamada diferença centrada.
Ela é uma melhor aproximação que as aproximações laterais (progressiva e regressiva).
Se, ao invés, adicionarmos (2.1) e (2.2), obtemos
u ′′ (x0) = u(x0 + ∆x) + u(x0 − ∆x) − 2u(x0)
∆x 2
o que fornece uma aproximação para a derivada segunda u ′′ (x0) de u em x0:
u ′′ (x0) ≈ u(x0 + ∆x) + u(x0 − ∆x) − 2u(x0)
∆x 2
− 2
4! u(4) (x0)∆x 2 − 2
5! u(6) (x0)∆x 4 − . . .
com erro
ɛ = − 1
12 u(4) (ξ)∆x 2 = O(∆x 2 ),
onde x0 − ∆x ξ x0 + ∆x. Esta aproximação é também chamada uma diferença centrada para a
derivada segunda.
2.1.2 Discretização
Dividimos o intervalo [0, a] em n subintervalos de comprimento ∆x = a/n através de n − 1 pontos interiores
uniformemente espaçados:
x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, . . . , xn−1 = (n − 1) ∆x, xn = n∆x = a,
de modo que [0, a] = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−1, xn]. Introduzimos a notação:
ui = u(xi),
fi = f (xi) .
Esta é uma discretização uniforme do intervalo [0, a]. Uma vez discretizado o domínio da equação diferencial
parcial, procedemos à discretização desta. Usando diferenças centradas para cada ponto interior xi, 1 i
n − 1, temos
−ui−1 + 2ui − ui+1
∆x 2 = fi. (2.7)
Para os pontos de fronteira, a condição de Dirichlet implica simplesmente que
(2.5)
(2.6)
u0 = un = 0. (2.8)