Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 37
com correspondentes autofunções
unm (x, y) = sen nx sen my.
O autovalor λ2 = λ3 = 5 tem multiplicidade 2 e o seu autoespaço é constituído pelas funções da forma
u (x, y) = A sen x sen 2y + B sen 2x sen y, A, B ∈ R.
Para A = 0, u tem uma reta nodal vertical (x = π/2); para B = 0, u tem uma reta nodal horizontal
(y = π/2); se A = ±B, u tem uma reta nodal diagonal (a reta y = x se A = −B e a reta y = −x + 1
se A = B); nos demais casos, a curva nodal é especificada pela equação transcendental
A cos y + B cos x = 0,
que é uma curva que intercepta a fronteira em dois pontos em ângulos retos. Em todos os casos, a
curva nodal de uma autofunção associada ao autovalor 5 divide o quadrado em dois domínios nodais.
O autovalor λ4 = 8 é simples, com o seu autoespaço gerado pela autofunção
u (x, y) = sen 2x sen 2y,
cujo conjunto nodal é a união das retas vertical x = π/2 e horizontal y = π/2; ela possui portanto
quatro domínios nodais.
O autovalor λ5 = λ6 = 10 também tem multiplicidade 2 e o seu autoespaço é constituído pelas funções
da forma
u (x, y) = A sen x sen 3y + B sen 3x sen y, A, B ∈ R.
Para A = 0, u tem duas retas nodais verticais (x = π/3 e x = 2π/3); para B = 0, u tem duas retas
nodais horizontais (y = π/3 e y = 2π/3); em ambos os casos, temos três domínios nodais. Se A = −B,
u tem as duas diagonais do quadrado como retas nodais, originando quatro domínios nodais, enquanto
que se A = B, u tem uma curva nodal fechada
sen 2 x + sen 2 y = 3/2
que divide o quadrado em apenas dois domínios nodais, a região interior à curva e a região exterior.
Pleijel verifica em [Pleijel] que os únicos autovalores do laplaciano no quadrado que possuem autofunções
que assumem o número maximal de domínios nodais são λ1 = 2 (um domínio nodal),
λ2 = λ3 = 5 (dois domínios nodais) e λ4 = 8 (quatro domínios nodais).
1.9 Multiplicidade dos Autovalores do Laplaciano
Em regiões com algum tipo de simetria, o laplaciano freqüentemente possui autovalores com multiplicidades
maiores que 1.
Exemplo 9. Como os autovalores de Dirichlet do laplaciano no quadrado Q = [0, π] 2 ⊂ R 2 , dados por
com correspondentes autofunções
λnm = n 2 + m 2 , n, m ∈ N,
unm (x, y) = sen nx sen my,
vemos imediatamente que sempre que n = m o autovalor λnm terá multiplicidade pelo menos igual a
2, já que as autofunções
unm (x, y) = sen nx sen my e umn (x, y) = sen mx sen ny