Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 36
Prova: A demonstração deste corolário depende da observação de que se u é uma autofunção associada a
um certo autovalor de Dirichlet λ e Ωi é qualquer domínio nodal de u, então λ é o primeiro autovalor do
laplaciano em Ωi, isto é,
λ1 (Ωi) = λ.
De fato, ui = u|Ωi é uma autofunção associada a λ em Ωi, pois ui ∈ C2 (Ωi) ∩ C0
Ωi satisfaz −∆ui = λui
em Ωi e ui = 0 em ∂Ωi (pois ∂Ωi está contida na união do conjunto nodal de u e ∂Ω, onde u = 0). Além
disso, ui não muda de sinal em Ωi por definição de domínio nodal de u, logo possui apenas um domínio nodal
e portanto segue do Corolário 1.26 que ui é uma autofunção associada ao primeiro autovalor de Dirichlet em
Ωi.
Sejam Ω1, · · · , Ωm, m j, os domínios nodais de uma autofunção u associada a λj. Como λj = λ1 (Ωi)
para todo i, segue da Desigualdade de Faber-Krahn que
λj πα2 0,1
A (Ωi) ,
onde A (Ωi) é a área de Ωi, para todo i. Escrevendo estas desigualdades na forma
e somando-as para i = 1, . . . , m, segue que
Logo, se o caso máximo m = j ocorre, temos
A (Ωi)
πα 2 0,1
A (Ω)
πα 2 0,1
A (Ω)
πα 2 0,1
1
,
λj
m
.
λj
j
.
λj
Se o número máximo m = j de domínios nodais fosse atingido para um número infinito de índices j, tomando
o limite nesta desigualdade quando j → ∞ para esta subseqüência de índices, teríamos pela Lei de Weyl que
donde
A (Ω)
πα 2 0,1
α0,1 2.
A (Ω)
4π ,
Mas α0,1 = 2.404825558..., contradição.
Com relação aos conjuntos nodais das autofunções do laplaciano, pode-se dizer que eles são altamente
regulares: o conjunto nodal de uma autofunção u do laplaciano em Ω ⊂ R n é localmente composto de
hiperfícies de dimensão n − 1, que podem se intersectar em superfícies de dimensão menor que n − 1 (veja
[Cheng] para o enunciado preciso e sua demonstração). Estas hiperfícies não podem terminar no interior de
Ω, o que significa que ou elas são fechadas, ou elas começam e terminam na fronteira de Ω. Além disso, no
caso bidimensional, quando as curvas nodais se intersectam, ou quando elas interceptam a fronteira, elas o
fazem em ângulos iguais; assim, por exemplo, se uma curva nodal intercepta a fronteira, ela o faz em um
ângulo reto, enquanto que se duas curvas nodais interceptam a fronteira no mesmo ponto, elas o fazem em
ângulos de π/3 e guardam também um ângulo de π/3 entre si (veja [Courant-Hilbert]).
Exemplo 8. Como vimos no Exemplo 2, os autovalores de Dirichlet do laplaciano no quadrado Q = [0, π] 2 ⊂
R 2 são dados por
λnm = n 2 + m 2 , n, m ∈ N,