Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 28
e portanto
max
u∈L ′
u=0
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
u 2
L 2 (Ω)
Isso prova (1.20).
Para provar a afirmativa dual (1.21), seja L ⊂ Lj um subespaço de W 1,2
0 (Ω) de dimensão j − 1, digamos
L = 〈v1, . . . , vj−1〉. Afirmamos que existe um vetor não nulo v = j
aiui ⊥ L, combinação linear dos vetores
λj.
u1, . . . , uj. De fato, basta tomar uma das soluções não triviais do sistema homogêneo
⎧
〈v, v1〉 =
⎪⎨
⎪⎩
n
ai 〈ui, v1〉 = 0
i=1
.
.
〈v, vj−1〉 = n
ai 〈ui, vj−1〉 = 0
i=1
que possui j − 1 equações e j incógnitas. Então algum dos vetores u1, . . . , uj é perpendicular a L, digamos
ui. Logo, disso e do Teorema 1.13 segue que
〈∇v, ∇v〉 L 2 (Ω)
v 2
L 2 (Ω)
e portanto
= ∇v2 L2 (Ω)
v 2
L2 =
(Ω)
o que prova (1.21).
λj
i=1
∞
i=1
j
∞
i=1
∞
i=1
a 2 i 〈ui, ui〉 2
L 2 (Ω)
a 2 i 〈ui, ui〉 2
L 2 (Ω)
λi 〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
= λj,
min
u⊥L
u=0
1.7.2 Comparação de Autovalores
=
∞
λi
i=1
j
∞
j
i=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
u 2
L 2 (Ω)
i=1
2
akuk, ui
k=1
L2 (Ω)
2
akuk, ui
k=1
λj,
L 2 (Ω)
=
j
i=1
∞
i=1
a 2 i λi 〈ui, ui〉 2
L 2 (Ω)
a 2 i 〈ui, ui〉 2
L 2 (Ω)
Como uma conseqüência simples da caracterização minimax obtemos uma comparação entre os autovalores
do laplaciano de Dirichlet e os autovalores do laplaciano de Neumann de um mesmo domínio:
1.17 Corolário. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. Sejam
0 < λ D 1 λ D 2 . . . λ D k . . .
os autovalores do laplaciano com condição de Dirichlet e
0 = λ N 0 λ N 1 λ N 2 . . . λ N k . . .
os autovalores do laplaciano com condição de Neumann. Então
para todo j.
λ N j−1 λ D j