Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 27
Prova: Vimos na demonstração do Teorema 1.13 que se L = 〈u1, . . . , uj−1〉 é o subespaço gerado pelas
primeiras j − 1 autofunções u1, . . . , uj−1 do laplaciano, então
λj = min
u⊥L
u=0
〈∇u, ∇u〉 L2 (Ω)
u 2
L2 ;
(Ω)
de fato, o mínimo é realizado em u = uj. Por outro lado, se L ′ = 〈u1, . . . , uj〉 é o subespaço gerado pelas
primeiras j autofunções u1, . . . , uj do laplaciano, também temos
De fato, para todo ui com i < j vale
enquanto que
Portanto, se u = n
aiui ∈ L ′ , temos
i=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
u 2
L 2 (Ω)
= 〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
〈u, u〉 L 2 (Ω)
=
λj = max
u∈L ′
u=0
n
λia2 i 〈ui, ui〉 L2 (Ω)
i=1
n
a2 i 〈ui, ui〉 L2 (Ω)
i=1
〈∇ui, ∇ui〉 L 2 (Ω)
ui 2
L 2 (Ω)
〈∇uj, ∇uj〉 L 2 (Ω)
uj 2
L 2 (Ω)
〈∇u, ∇u〉 L2 (Ω)
u 2
L2 .
(Ω)
= λi λj,
= λj.
n
ai∇ui,
=
i=1
n
ai∇ui
n
i=1
aiui,
i=1
n
aiui
i=1
i=1
λj
L 2 (Ω)
L 2 (Ω)
=
n
a2 i 〈ui, ui〉 L2 (Ω)
n
a2 i 〈ui, ui〉 L2 (Ω)
= λj,
i=1
n
a2 i 〈∇ui, ∇ui〉 L2 (Ω)
i=1
n
a2 i 〈ui, ui〉 L2 (Ω)
e o máximo é realizado em u = uj.
Agora, para provar (1.20), seja L ′ ⊂ Lj outro subespaço de W 1,2
0 (Ω) de dimensão j, digamos L ′ =
〈v1, . . . , vj〉. Afirmamos que existe um vetor não nulo v = j
aivi ∈ L ′ tal que v ⊥ ui para i = 1, . . . , j − 1.
De fato, basta tomar uma das soluções não triviais do sistema homogêneo
⎧
〈v, u1〉 =
⎪⎨
⎪⎩
j
ai 〈vi, u1〉 = 0
i=1
.
〈v, uj−1〉 = j
ai 〈vi, uj−1〉 = 0
que possui j − 1 equações e j incógnitas. Logo, disso e do Teorema 1.15 segue que
〈∇v, ∇v〉 L 2 (Ω)
v 2
L 2 (Ω)
= ∇v2 L2 (Ω)
v 2
L2 =
(Ω)
∞
i=1
∞
i=1
i=1
λi 〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
=
i=1
∞
i=j
∞
i=j
λi 〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
i=1
∞
λj
i=j
∞
i=j
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω)
= λj,