Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 26
possui um número infinito enumerável de autovalores
tais que
e autofunções {uj} que satisfazem
0 = λ0 λ1 λ2 . . . λj . . .
∂u
∂η
λj → ∞,
= 0 sobre ∂Ω
e constituem um sistema ortonormal completo para L 2 (Ω), isto é,
para todo v ∈ L 2 (Ω). Em particular,
Além disso, para todo v ∈ W 1,2 (Ω) vale
v =
v 2
L 2 (Ω) =
∇v 2
L 2 (Ω) =
∞
i=1
∞
i=1
∞
i=1
αiui
〈v, ui〉 2
L 2 (Ω) .
λi 〈v, ui〉 2
L 2 (Ω) .
Na demonstração do Teorema 1.14 usamos o princípio de Rayleigh para obter o primeiro autovalor
do laplaciano como o mínimo do funcional de Rayleigh. Como os autovalores do laplaciano formam uma
seqüência infinita que cresce arbitrariamente em módulo, o funcional de Rayleigh para o laplaciano não
possui um máximo. Entretanto, da mesma forma que no caso de operadores lineares em dimensão finita,
podemos também derivar um princípio de minimax para obter os demais autovalores do laplaciano:
1.16 Teorema. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. Sejam
0 < λ1 λ2 . . . λj . . .
os autovalores do laplaciano com condição de Dirichlet:
−∆u = λu em Ω, u ∈ W 1,2
0 (Ω) .
Então, se Lj denota o conjunto dos subespaços vetoriais de W 1,2
0 (Ω) de dimensão j, temos
ou, dualmente,
λj = min
L∈Lj
λj = max
L∈Lj−1
⎛
⎝ max
u∈L
u=1
⎛
⎝ min
u⊥L
u=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
⎞
⎠ = min
L∈Lj
⎞
⎛
⎠ = max
L∈Lj−1
⎝max
u∈L
u=0
⎛
⎝min
u⊥L
u=0
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
u 2
L 2 (Ω)
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
u 2
L 2 (Ω)
⎞
⎠ (1.20)
⎞
⎠ . (1.21)
O resultado análogo vale para os autovalores do laplaciano com condição de Neumann trocando-se
W 1,2
0 (Ω) por W 1,2 (Ω) e λj por λj−1.