Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 23
A segunda identidade implica que uk + ul 2
juntamente com a desigualdade
que segue da definição de λ1, obtemos
L 2 (Ω)
→ 4 quando k, l → ∞. Usando a primeira identidade
∇ (uk + ul) 2
L 2 (Ω) λ1 uk + ul 2
L 2 (Ω) ,
∇ (uk − ul) 2
L2 2
(Ω) 2 ∇ukL2 2
(Ω) + 2 ∇ulL2 (Ω) − λ1 uk + ul 2
L2 (Ω) → 0
quando k, l → ∞, isto é, (∇uk) é uma seqüência de Cauchy em L 2 (Ω), o que prova a afirmação. Segue que
λ1 = ∇u 2
L 2 (Ω)
e o Teorema de Poincaré implica que λ1 = 0. Vamos denotar u = u1. Para mostrar que u1 é uma solução
fraca de −∆u1 = λ1u1, observe que para todo v ∈ W 1,2
0 (Ω) fixado temos
I (u1 + tv) = 〈∇ (u1 + tv) , ∇ (u1 + tv)〉 L 2 (Ω)
〈(u1 + tv) , (u1 + tv)〉 L 2 (Ω)
= ∇u1 2
L2 (Ω) + 2t 〈∇u1, ∇v〉 L2 (Ω) + t2 ∇u1 2
L2 (Ω)
u1 2
L2 (Ω) + 2t 〈u1, v〉 L2 (Ω) + t2 u1 2
L2 (Ω)
onde |t| é suficientemente pequeno para que o denominador nunca se anule. Como u1 é um mínimo para
este funcional, segue que
0 = dI
(u + tv)
dt
t=0
2 〈∇u1, ∇v〉 L2 (Ω) + 2t ∇u1
=
2
L2
(Ω) u1 + tv 2
L2 (Ω) −
2 〈u1, v〉 L2 (Ω) + 2t u1 2
L2
(Ω) ∇ (u1 + tv) 2
L2 (Ω)
u1 + tv 4
L2
(Ω)
= 2 〈∇u1, ∇v〉 L 2 (Ω) u1 2
L 2 (Ω) − 2 〈u1, v〉 L 2 (Ω) ∇u1 2
L 2 (Ω)
u1 + tv 4
L 2 (Ω)
= 2 〈∇u1, ∇v〉 L2 (Ω) − 2λ1 〈u1, v〉 L2 (Ω)
u1 + tv 4
L2 ,
(Ω)
ou seja,
∇u1 · ∇v = λ1
Ω
para todo v ∈ W 1,2
0 (Ω).
Suponha como hipótese de indução que obtivemos (λ1, u1) , . . . , (λj−1, uj−1) satisfazendo
e
Ω
ui ∈ W 1,2
0 (Ω) ,
λ1 . . . λj−1,
−∆u = λiu em Ω,
〈ui, uk〉 L 2 (Ω) = δik
para todos 1 i, k j. Definimos
Hj = v ∈ W 1,2
0 (Ω) : 〈v, ui〉 L2 (Ω) = 0 para i = 1, . . . , j − 1 .
u1v
t=0