Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 21
donde concluímos que (∇um) é uma seqüência de Cauchy em L 2 (Ω). Pela desigualdade de Poincaré temos
que
uk − ul L 2 (Ω) C ∇uk − ∇ul L 2 (Ω) ,
logo (um) também é uma seqüência de Cauchy em L2 (Ω) e portanto (um) é uma seqüência de Cauchy em
W 1,2
0 (Ω), ou seja, existe u ∈ W 1,2
0 (Ω) tal que um → u em W 1,2
0 (Ω). Em particular, segue que I (u) = I0.
Como um → u em L2 (Ω) e ∇um → ∇u em L2 (Ω), temos que
1
|∇um|
2 Ω
2
dx + fum →
Ω
1
|∇u|
2 Ω
2
dx + fu,
Ω
e concluímos que u é o minimizador do funcional de Dirichlet I.
Se a fronteira e os dados do problema são suficientemente regulares, pode-se provar que uma solução
fraca é uma solução clássica (veja [Gilbarg-Trudinger] ou [Biezuner] para os detalhes):
1.12 Teorema. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado com fronteira de classe C ∞ . Seja f ∈ C ∞ (Ω).. Se
u ∈ W 1,2
0 (Ω) é uma solução fraca de
∆u = f em Ω,
então u ∈ C ∞ Ω .
1.7 O Espectro do Laplaciano
u = 0 sobre ∂Ω,
1.7.1 Existência e Caracterização Variacional dos Autovalores do Laplaciano
Para o problema de Dirichlet, o espaço natural para aplicar o método variacional é W 1,2
0 (Ω), enquanto que
para o problema de Neumann trabalharemos em W 1,2 (Ω). Examinaremos primeiro o problema de autovalor
do laplaciano para condição de fronteira de Dirichlet.
Definição. Dizemos que u ∈ W 1,2
0 (Ω) é uma solução fraca para o problema de autovalor do laplaciano
para condição de fronteira de Dirichlet
−∆u = λu em Ω,
se
∇u · ∇v = λ
Ω
u = 0 sobre ∂Ω,
Aceitaremos o seguinte resultado de regularidade sem demonstração.
Ω
uv para todo v ∈ W 1,2
0 (Ω) . (1.17)
1.13 Teorema. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado com fronteira de classe C ∞ . Seja λ ∈ R. Se u ∈ W 1,2
0 (Ω)
é uma solução fraca de −∆u = λu em Ω,
então u ∈ C ∞ Ω .
u = 0 sobre ∂Ω,
1.14 Teorema. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. Então o problema de autovalor
−∆u = λu em Ω, u ∈ W 1,2
0 (Ω)
possui um número infinito enumerável de autovalores
0 < λ1 λ2 . . . λj . . .