Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Sumário
1 Os Autovalores do Laplaciano 4
1.1 Motivação para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Método de Expansão em Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Problema Isospectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Princípio do Máximo Fraco: O Laplaciano não possui Autovalores Negativos . . . . . . . . . 10
1.4 Métodos Variacionais para Autovalores de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Os Espaços de Sobolev W 1,2 e W 1,2
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Propriedades dos Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Existência e Unicidade de Soluções para o Laplaciano através do Método Variacional . . . . . 18
1.6.1 Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Existência, Unicidade e Regularidade de Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 O Espectro do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1 Existência e Caracterização Variacional dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . 21
1.7.2 Comparação de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Conjunto Nodal e Domínios Nodais de uma Autofunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.1 Princípio do Máximo Forte: o Primeiro Autovalor do Laplaciano é Simples . . . . . . 30
1.8.2 Conjunto Nodal e Domínios Nodais de Autofunções do Laplaciano . . . . . . . . . . . 32
1.9 Multiplicidade dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Método de Diferenças Finitas 39
2.1 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Séries de Taylor e Diferenças Finitas em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Resolução Numérica do Problema de Autovalor Unidimensional . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 O Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 A Fórmula dos Cinco Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Existência e Unicidade da Solução Discreta – Autovalores do Problema Bidimensional 47
2.2.3 Princípio do Máximo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.4 Convergência da Solução Discreta para a Solução Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Discretizações de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Caso Bidimensional: A Fórmula dos Nove Pontos Compacta . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Diferenças Finitas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Domínios Arbitrários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
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