Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 17
As propriedades de imersão compacta dos espaços de Sobolev são as que lhe conferem a sua grande
utilidade. Recordamos os conceitos de imersão contínua e imersão compacta:
Definição. Seja E um subespaço vetorial normado de um espaço normado F (ou seja, a norma em E não
precisa necessariamente ser a norma induzida de F ). Dizemos que a inclusão E ⊂ F é uma imersão
(contínua) se a aplicação inclusão I : E → F definida por Ix = x for contínua. Denotamos este fato
por
E ↩→ F.
Se, além disso, a aplicação inclusão for compacta, dizemos que a imersão E ↩→ F é compacta.
Denotaremos a imersão compacta de um espaço vetorial normado E em um espaço vetorial normado
F por
E ↩ → F.
Como a aplicação inclusão é linear, o fato de existir uma imersão E ↩→ F é equivalente à existência de uma
constante C tal que
xF C xE para todo x ∈ E.
Em particular, se (xn) é uma seqüência de Cauchy em E, então (xn) também é uma seqüência de Cauchy
em F ; logo, se xn → x em E, então xn → x em F também. É claro que se E tem a norma induzida de F ,
então a inclusão E ⊂ F é uma imersão, com C = 1. Quando existe uma imersão E ↩→ F , dizer que ela é
compacta é equivalente a dizer que seqüências limitadas de (E, ·E ) possuem subseqüências convergentes
em (F, ·F ).
1.6 Teorema. (Teorema da Imersão de Sobolev) Seja Ω ⊂ R n um aberto. Então
W 1,2 (Ω) ↩→ L 2 (Ω),
W 1,2
0 (Ω) ↩→ L 2 (Ω).
Prova: Usando a norma equivalente introduzida acima, se E = W 1,2 (Ω) ou se E = W 1,2
0 (Ω) temos
u E = u L 2 (Ω) +
n
∂u
∂xi
i=1
L 2 (Ω)
u L 2 (Ω) .
1.7 Teorema. (Teorema de Rellich–Kondrakhov) Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado com fronteira de classe
C 1 . Então
W 1,2 (Ω) ↩ → L 2 (Ω) ,
Se trocarmos W 1,2 por W 1,2
0 , o resultado é válido para abertos arbitrários.
1.8 Teorema. (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. Então
u L 2 (Ω)
|Ω|
ωn
1/n
∇u L 2 (Ω) .
para todo u ∈ W 1,2
0 (Ω) (aqui ωn é o volume da bola unitária em R n ).
Observe que o Teorema 1.8 não é válido se trocamos W 1,2
0
por W 1,2 porque as funções constantes pertencem
a W 1,2 e não satisfazem a desigualdade de Poincaré (pois têm derivada nula).