Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 16
Estes exemplos não são acidentais. É possível provar que uma função real em uma variável real possui uma
derivada fraca se e somente se ela for absolutamente contínua (a menos de modificações em conjuntos de
medida nula); em particular, isso implica que ela é diferenciável no sentido clássico em quase todo ponto. No
caso de funções de várias variáveis, pode-se provar que uma função u ∈ L1 loc (Ω) é fracamente diferenciável
se e somente se ela é igual, a menos de um conjunto de medida nula, a uma função que (1) é absolutamente
contínua em quase todos os segmentos em Ω paralelos aos eixos coordenados e (2) as derivadas parciais de
u são localmente integráveis. Para maiores detalhes, veja [Biezuner].
1.5.2 Espaços de Sobolev
Seja Ω um aberto de Rn . Definimos
W 1,2
(Ω) = u ∈ W 1 (Ω) : u ∈ L 2 (Ω) e ∂u
∂xi
W 1,2 (Ω) é claramente um espaço vetorial. Ele é munido da norma
Definimos também
uW 1,2 (Ω) = |u|
Ω
2 n
+
i=1
∈ L 2
(Ω) para todo i = 1, . . . , n . (1.11)
Ω
∂u
∂xi
2 1/2
W 1,2
0 (Ω) = fecho de C ∞ 0 (Ω) em W 1,2 (Ω).
. (1.12)
Em ambos os espaços vetoriais normados W 1,2 (Ω) e W 1,2
0 (Ω) definimos o produto interno
〈u, v〉 =
Ω
uv +
n
i=1
Ω
∂u ∂v
= 〈u, v〉 L2 (Ω) +
∂xi ∂xi
n
∂u
,
∂xi
∂v
∂xi L2 . (1.13)
(Ω)
Desta forma, a norma definida acima é derivada deste produto interno. Ela também é equivalente à norma
uW 1,2 (Ω) =
|u|
Ω
2
1/2 = u L 2 (Ω) +
+
n
i=1
n
∂u
∂xi
1.5.3 Propriedades dos Espaços de Sobolev
i=1
Ω
i=1
L 2 (Ω)
∂u
∂xi
.
2 1/2
Assumiremos os resultados a seguir sem demonstração (veja [Biezuner] para a demonstração destes resultados).
1.3 Teorema. W 1,2 (Ω) é um espaço de Hilbert. Em particular, W 1,2
0 (Ω) também é um espaço de Hilbert.
1.4 Teorema. C ∞ (Ω) ∩ W 1,2 (Ω) é denso em W 1,2 (Ω). Se Ω um aberto com fronteira de classe C 1 , então
C ∞ (Ω) ∩ W 1,2 (Ω) é denso em W 1,2 (Ω).
Os seguintes resultados caracterizam o espaço W 1,2
0 (Ω):
1.5 Teorema. Se u ∈ W 1,2 (Ω) satisfaz supp u ⊂⊂ Ω, então u ∈ W 1,2
0 (Ω).
Se Ω ⊂ Rn é um aberto com fronteira de classe C1 e se u ∈ W 1,2 (Ω) ∩ C(Ω), então u ∈ W 1,2
0 (Ω) se e
somente se u = 0 em ∂Ω.