Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 152
Observe que Qm é uma isometria (embora não necessariamente um isomorfismo isométrico, a não ser que
m = n) e que Hm+1,m é uma matriz de Hessenberg superior, não quadrada, com entradas diagonais positivas.
Denotaremos por Hm a matriz de Hessenberg superior quadrada obtida através de Hm+1,m quando
suprimimos a última linha desta. Segue que
AQm = QmHm + qm+1 0 . . . 0 hm+1,m
ou
8.4 Proposição. Suponha que q1, . . . , qm+1 são vetores ortonormais,
Qm =
q1 . . . qm ,
AQm = QmHm + qm+1hm+1,me t m. (8.29)
e que Hm é uma matriz de Hessenberg superior com hj+1,j > 0 para j = 1, . . . , m. Embora estes
possam ter sido obtidos por qualquer processo, suponha que eles satisfazem (8.29).
Então q1, . . . , qm+1 são exatamente os vetores produzidos pelo processo de Arnoldi com vetor inicial
q1. Em outras palavras, dada uma matriz A, os objetos em (8.29) são unicamente determinados pela
primeira coluna de Qm.
Se q, Aq, . . . , A m q são linearmente independentes, então hm+1,m = 0. Se eles são linearmente dependentes,
então hm+1,m = 0 e
AQm = QmHm. (8.30)
Em particular, isso implica que 〈q1, . . . , qm〉 são invariantes sob A e que os autovalores de Hm são autovalores
de A, como o próximo resultado mostra:
8.5 Proposição. Suponha que x1, . . . , xm ∈ Fn são linearmente independentes e sejam S = 〈x1, . . . , xm〉 e
X =
x1 . . . xm
Então S é invariante sob A ∈ Mn (F) se e somente se existe algum B ∈ Mm (F) tal que
AX = XB.
Além disso, todo autovalor de B é um autovalor de A com autovetor correspondente em S.
Prova. Se existe tal B, então
Axj =
m
xibij ∈ S.
i=1
Reciprocamente, se X é invariante sob A, então para cada índice j = 1, . . . , m existem escalares bij tais que
m
Axj = bijxi.
i=1
Defina B = (bij).
Se w é um autovetor de B com autovalor λ, então v = Xw ∈ S é um autovetor de A com autovalor λ.
Se m não é muito grande, podemos então usar o algoritmo QR para encontrar os autovalores de Hm. Na
prática, dificilmente obteremos hm+1,m = 0 exatamente, mas se hm+1,m é próximo de zero podemos esperar
que estamos próximos de um subespaço invariante e, portanto, que os autovalores de Hm são próximos aos
autovalores de A. O próximo resultado mostra que mesmo na eventualidade em que hm+1,m não é pequeno,
alguns dos autovalores de Hm podem ser boas aproximações dos autovalores de A.
8.6 Teorema. Sejam Qm, Hm e hm+1,m gerados pelo processo de Arnoldi. Seja λ um autovalor de Hm
com autovetor unitário x. Seja v = Qmx. Então
onde xm denota a última componente de x.
n×m
Av − λv = |hm+1,m| |xm| ,