Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 151
donde
A k q = 1
ak−1
⎛
⎝
k
j=1
k−2
hjkqj −
aiA i ⎞
q⎠
= 1
i=0
aj−1
⎡
⎣
k
j=1
j−1
hjk bijA i q
i=0
aiA i ⎤
q⎦
, (8.24)
k−1
−
produzindo A k q como combinação linear de q, Aq, . . . , A k−1 q para k < m, violando a hipótese de que
q, Aq, . . . , A m−1 q são linearmente independentes. Isso prova que hk+1,k = qk+1 > 0. Além disso, como
qk+1 = A ak−1A k−1 k−2
q + aiA i
q −
i=0
k
j=1
hjkqj = ak−1A k k−1
q +
i=1
aiA i q −
i=1
k
j=1
hjkqj,
segue que qk+1 = qk+1/ qk+1 possui uma componente não-nula na direção de A k q; isso mais a hipótese de
indução q, Aq, . . . , A k−1 q = 〈q1, . . . , qk〉
implica que q, Aq, . . . , A k−1 q, A k q = 〈q1, . . . , qk+1〉
Para provar (c), observe que hm+1,m = 0 implica q, Aq, . . . , A m q linearmente dependentes por (8.24).
Reciprocamente, se A m q é combinação linear de q, Aq, . . . , A m−1 q, então
e portanto
A m q ∈ q, Aq, . . . , A m−1 q = 〈q1, . . . , qm〉 ,
A m q =
m
〈Aqm, qj〉 qj
j=1
pois esta é a expressão de A m q na base ortonormal {q1, . . . , qm}; daí segue da definição que qm+1 = 0.
8.4.2 Representação Matricial do Processo de Arnoldi
Segue de (8.20) e (8.21) que
k+1
Aqk = hjkqj. (8.25)
j=1
Pelo Teorema 8.3, esta relação vale para k = 1, . . . , m se q, Aq, . . . , Amq forem linearmente independentes.
Estas equações vetoriais podem ser combinadas em uma equação matricial da seguinte maneira. Definimos
Qm =
q1 . . . qm
(8.26)
e
Temos
n×m
⎡
h11
⎢ h21 ⎢
0
Hm+1,m = ⎢ 0
⎢ .
⎣ .
h12
h22
h32
0
.
.
. . .
. . .
. . .
. ..
. ..
h1,m−1
h2,m−1
h3,m−1
.
.
hm,m−1
h1m
h2m
h3,m
.
.
hm,m
⎤
⎥
⎦
0 0 . . . 0 hm+1,m
(m+1)×m
. (8.27)
AQm = Qm+1Hm+1,m. (8.28)