Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 149
Os autovalores restantes de A serão os autovalores de Ak, que é uma matriz (n − 1) × (n − 1), de modo que
podemos efetuar iterações subseqüentes nesta matriz. Operando desta forma, a cada autovalor encontrado
diminuímos o tamanho da matriz, diminuindo o custo computacional (é claro que a cada autovalor encontrado
devemos também considerar um novo deslocamento, aproximando o próximo autovalor a ser encontrado).
8.4 Métodos para Matrizes Esparsas
O algoritmo QR não é conveniente para obter os autovalores de matrizes esparsas, já que depois de uma
iteração QR a matriz A1 já deixa de ser esparsa (pode-se construir exemplos em que todas as posições
superiores da matriz de Hessenberg são preenchidas; veja [Watkins], Exercício 6.3.24). Precisaremos de
métodos que não preenchem os zeros da matriz esparsa A. Uma possibilidade é voltar ao método de iteração
de subespaços básico, sem as mudanças de coordenadas a cada iteração que caracterizam o método QR e
alteram a forma esparsa da matriz. Por outro lado, isso implica que apenas alguns poucos autovalores de
maior módulo podem ser calculados. Para contornar este problema, deve-se usar as estratégias de iteração
inversa e iteração com deslocamento.
Entretanto, métodos mais sofisticados e eficientes existem para encontrar os autovalores de uma matriz
esparsa.
8.4.1 Processo de Arnoldi
O processo de Arnoldi foi introduzido em 1950, mas só entrou em moda para calcular autovalores apenas na
década de 1970. Atualmente, ele e suas variantes, são o método preferido para o cálculo de autovalores em
várias aplicações.
O método das potências (ou mesmo o método da iteração de subespaços) utiliza apenas a informação do
último iterado para calcular o próximo iterado. A idéia do processo de Arnoldi (semelhante à do algoritmo
do gradiente conjugado) é usar toda a informação dos passos anteriores. Depois de k passos no método
das potências, guardamos todos os k + 1 vetores q, Aq, A 2 q, . . . , A k q e procuramos boas aproximações de
autovetores no subespaço (k + 1)-dimensional gerado por estes vetores.
Na prática, como já vimos antes, os vetores q, Aq, A 2 q, . . . , A k q formam uma base mal-condicionada para
o subespaço, porque tendem a apontar na mesma direção do autovetor dominante, logo em cada iteração
substituímos esta base por uma base ortonormal q1, . . . , qk+1. Isso é realizado pelo algoritmos de Gram-
Schmidt com uma pequena modificação. Se trabalhássemos com a seqüência original q, Aq, A 2 q, . . . , A k−1 q,
para obter A k q bastaria multiplicar A k−1 q por A. Como em cada passo usamos o algoritmo de Gram-Schmidt
para ortonormalizar o conjunto de vetores obtidos anteriormente, o vetor A k−1 q não está disponível. Ao
invés, multiplicamos o vetor qk por A e é necessário apenas ortonormalizar o vetor Aqk com relação aos
vetores q1, . . . , qk para obter o vetor qk+1. Este é o processo de Arnoldi.
Mais detalhadamente, no primeiro passo temos
Em passos subseqüentes, tomamos
onde
qk+1 = Aqk −
q1 = q
. (8.19)
q
k
hjkqj, (8.20)
j=1
qk+1 = qk+1
, (8.21)
qk+1
hjk = 〈Aqk, qj〉 , se j = 1, . . . , k, (8.22)
hk+1,k = qk+1 . (8.23)