Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 14
de modo que
dim W ⊥ ∩ Z 1
e existe um vetor x ∈ Z tal que x ⊥ W e x = 1. Escrevendo x = j
xkvk, temos x = j
j
〈T x, x〉 = xkT vk,
=
k=1
j
k=1
λkx 2 k λj
j
l=1
xlvl
j
k=1
j
= xkλkvk,
x 2 k = λj.
k=1
j
l=1
k=1
xlvl
=
x
k=1
2 k
j
λkxkxl 〈vk, vl〉
k,l=1
= 1, donde
Para completar a demonstração, devemos encontrar um subespaço W ⊂ V de dimensão j − 1 tal que
〈T x, x〉 λj para todo x ⊥ W com x = 1. Tomemos W = 〈v1, . . . , vj−1〉. Então W ⊥ = 〈vj, . . . , vn〉 e
para todo x ∈ W ⊥ com x = 1 temos
n
n
n
n
n
〈T x, x〉 = xkT vk, = xkλkvk, = λkxkxl 〈vk, vl〉
=
k=j
n
k=j
O maximin é atingido em vj.
λkx 2 k λj
l=j
n
k=j
xlvl
x 2 k = λj.
1.5 Os Espaços de Sobolev W 1,2 e W 1,2
0
k=j
Para generalizar os métodos variacionais discutidos na seção anterior para encontrar os autovalores do Laplaciano,
é necessário definir um espaço de funções dotado de um produto interno adequado. Para domínios
limitados, o espaço adequado para se trabalhar é o espaço de Sobolev.
1.5.1 A Derivada Fraca
Seja Ω um aberto de Rn . Suponha que u ∈ C1 (Ω) é uma função real continuamente diferenciável. Se
ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) é uma função suave com suporte compacto em Ω, segue da fórmula de integração por partes que
u ∂ϕ
dx = −
∂xi
∂u
ϕ dx
∂xi
(1.8)
Ω
para i = 1, . . . , n. Não há termos de fronteira exatamente porque ϕ tem suporte compacto em Ω.
Definição. Seja Ω ⊂ Rn um subconjunto aberto e u ∈ L1 loc (Ω). Dizemos que uma função vi ∈ L1 loc (Ω) é
uma derivada fraca de u, se
u
Ω
∂ϕ
dx = − viϕ dx, (1.9)
∂xi
para toda ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω). Se este for o caso, denotamos
Ω
Ω
l=j
xlvl
k,l=j
vi = ∂u
. (1.10)
∂xi
Dizemos que u é fracamente diferenciável se todas as derivadas fracas de primeira ordem de u
existirem. O espaço vetorial das funções fracamente diferenciáveis é denotado por W 1 (Ω).