Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 148
8.3.2 Implementação Eficiente do Algoritmo QR
O algoritmo QR da forma como introduzido na seção anterior é altamente ineficiente. Cada decomposição
QR custa O n 3 operações de ponto flutuante e a multiplicação de matrizes que lhe segue também custa
O n 3 operações de ponto flutuante. Além disso, a velocidade de convergência também é muito lenta.
O primeiro problema é resolvido quando se reduz a matriz A à sua forma de Hessenberg. Uma decomposição
QR de uma matriz na forma de Hessenberg é apenas O n 2 operações de ponto flutuante para uma
matriz geral e O (n) operações de ponto flutuante para uma matriz hermitiana.
Definição. Dizemos que uma matriz A = (aij) é uma matriz de Hessenberg superior se aij = 0 sempre
que i > j + 1.
Em outras palavras, uma matriz de Hessenberg superior tem a forma
⎡
∗
⎢ ∗
⎢ 0
⎣ 0
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎤
⎥
⎦
0 0 0 ∗ ∗
.
Observe que uma matriz hermitiana de Hessenberg é uma matriz tridiagonal. Toda matriz complexa é
semelhante a uma matriz na forma de Hessenberg superior através de uma matriz unitária, isto é, dada
A ∈ Mn (C), existe uma matriz unitária Q tal que
B = Q ∗ AQ
é de Hessenberg superior. O custo para isso é de 10
3 n3 operações de ponto flutuante. Detalhes podem ser
vistos em [Watkins]. Se Ak−1 é uma matriz de Hessenberg superior, então a matriz Ak obtida através do
método QR também é de Hessenberg superior. De fato, da decomposição QR de Ak−1, Ak−1 = QkRk,
obtemos Qk = Ak−1R −1
k . Como a inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular
superior, segue que R −1
k é triangular superior. O produto de uma matriz triangular superior e de uma
matriz de Hessenberg superior, em qualquer ordem, sempre é uma matriz de Hessenberg superior. Segue
que Qk é de Hessenberg superior e daí que Ak = RkQk é de Hessenberg superior. Assim, se começarmos
com uma matriz de Hessenberg superior, em cada passo QR estaremos trabalhando com uma matriz de
Hessenberg superior e o custo computacional cai de O n3 para O n2 (ou até mesmo O (n) se a matriz for
hermitiana), uma redução significativa.
A velocidade de convergência do algoritmo QR pode ser acelerada pela estratégia de deslocamento. Com
efeito, como a taxa de convergência do método depende da razão |λm+1| / |λm|, ela pode ser melhorada
quando esta razão é decrescida. Isso pode ser feito através de deslocamento; |λm+1 − σ| / |λm − σ| pode
ser tornado arbitrariamente próximo a zero escolhendo um deslocamento arbitrariamente próximo a λm+1.
A escolha do deslocamento pode ser feita através do próprio método QR: depois de algumas iterações, os
elementos na diagonal principal de Ak são aproximações dos autovalores de A.
O método pode ter sua velocidade de convergência ainda mais acelerada através do uso de uma técnica
chamada deflação. Suponha que obtivemos uma boa aproximação σ para o autovalor de menor módulo λn
(como este autovalor tem o menor módulo, ele deve ser o melhor aproximado pelas iterações QR iniciais usadas
para encontrar boas aproximações para os autovalores). Aplicando o algoritmo QR à matriz C = A − σI,
obteremos uma convergência muito rápida, de modo que após poucas iterações a matriz Ck +σI (adicionando
o deslocamento de volta) terá aproximadamente a forma
⎡
⎤
∗
⎢ Ak
Ck + σI = ⎢
. . . ⎥
⎣
∗ ⎦
0 0 0 λn
.