Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 145
Assuma também que Sm ∩ Um = {0} para m = 1, . . . , n − 1. Pelo Teorema 8.1,
A k Sm = q k 1 , . . . , q k
m → Tm
com velocidade de convergência igual a |λm+1| / |λm|.
Seja Qk a matriz unitária cujas colunas são os vetores ortonormais q k 1 , . . . , q k n e denote
Ak = Q ∗ kA Qk. (8.2)
Como Ak é similar a A, Ak possui os mesmos autovalores de A. Para k grande, as primeiras m colunas de
Qk são próximas ao subespaço invariante Tm. Se estas colunas gerassem exatamente o subespaço Tm, então
Ak teria a forma em blocos
Ak =
k A11 k×k
0 (n−k)×k
k A12
k A22 k×(n−k)
(n−k)×(n−k)
e os autovalores λ1, . . . , λk seriam os autovalores do bloco A k 11. Como estas colunas apenas aproximam Tm,
ao invés de um bloco nulo devemos obter um bloco A k 21 cujas entradas são próximas de zero. Pode-se provar
que de fato A k 21 → 0. Isso acontece para todo k, de modo que Ak converge para uma matriz triangular, cujos
elementos na diagonal principal são os autovalores λ1, . . . , λn de A. Se A for uma matriz hermitiana, então
Ak também será hermitiana e Ak convergirá para uma matriz diagonal.
O algoritmo QR é uma variante da iteração de subespaços que produz a seqüência (Ak) diretamente.
8.3.1 O Algoritmo QR
Para obter o algoritmo QR, vamos colocar a iteração simultânea em forma matricial. Assumiremos que A
é invertível. Depois de k iterações, temos os vetores ortonormais qk 1 , . . . , qk n, que são as colunas da matriz
unitária Qk, isto é,
Qk = qk 1 . . . qk
n . (8.4)
Denote
Bk+1 = A Qk = Aq k 1 . . . Aq k n
(8.3)
. (8.5)
Em seguida, o processo de Gram-Schmidt clássico é aplicado aos vetores linearmente independentes b k+1
1
Aq k 1 , . . . , b k+1
n
= Aq k n (daí a hipótese de que A é invertível) para obter vetores ortonormais q k+1
1
=
, . . . , q k+1
n
que serão as colunas da matriz unitária Qk+1.
Para expressar o algoritmo de Gram-Schmidt em forma matricial, lembre-se que para obter vetores
ortonormais q1, . . . , qn a partir de vetores linearmente independentes b1, . . . , bn neste processo primeiro ortogonalizamos,
obtendo os vetores ortogonais
q1 = b1,
q2 = b2 − 〈b2, q1〉
〈q1, q1〉 q1,
.
.
m−1
qm = bm −
.
.
qn = bn −
j=1
〈bm, qj〉
〈qj, qj〉 qj,
n 〈bn, qj〉
〈qj, qj〉 qk+1 j .
j=1