Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 144
com q1 ∈ Tm e q2 ∈ Um. Como q /∈ Um, necessariamente q1 = 0, isto é, ai = 0 para algum índice i = 1, . . . , m.
Em primeiro lugar, note que os subespaços A k S são todos m-dimensionais. De fato, |λm| > |λm+1| implica
que nenhum dos autovalores λ1, . . . , λm é o autovalor nulo, logo ker A ⊂ Um. Como S ∩ Um = {0}, segue
que A é injetiva sobre S logo dim S = dim (AS). Mais geralmente, como A k Tm = Tm, temos ker A k ⊂ Um
para todo k. Além disso, A k S ∩ Um = {0}, pois se q = q1 + q2 ∈ S é um vetor arbitrário com q1 ∈ Tm e
q2 ∈ Um, segue que a componente A k q1 de A k q em Tm é não-nula para todo k, pois A k q1 = m
i=1 aiλ k vi e
ai = 0 para algum índice i = 1, . . . , m. Portanto, dim (AS) = dim (AS) = . . . = dim A k S .
Temos
A k q
λ k m
=
m−1
k n
λi
λi
ai vi + amvm + ai
λm
λm
i=1
i=m+1
k
vi.
Os coeficientes da componente em Tm crescem, ou pelo menos não decrescem, enquanto que os coeficientes
da componente em Um tendem a zero com taxa igual a ou melhor que λm+1/λm. Portanto, toda seqüência
k A q converge para um vetor em Tm com a taxa de convergência dada no enunciado. O limite AkS não
pode ser um subespaço próprio de Tm porque ele tem dimensão m.
Tm é chamado o subespaço invariante dominante de A de dimensão m.
Para fazer uma iteração de subespaços na prática, é necessário escolher uma base para o subespaço a
ser iterado, iterando todos os vetores desta base simultaneamente. Assim, se B0 = q0 1, . . . , q0
m é uma base
para S, Bk = Akq0 1, . . . , Akq0
k
m é uma base para A S. Por outro lado, já vimos que trabalhar com os
vetores Akq0 j pode ser problemático, pois pode ocorrer Akq0
j → ∞ ou Akq0
j → 0; seria necessário fazer
um reescalamento a cada iteração. Pior que isso, as seqüências de vetores Akq0
k 0
1 , . . . , A qm convergem
cada uma para o autovetor dominante v1, como vimos na seção anterior, logo os vetores A k q 0 1, . . . , A k q 0 m
apontam aproximadamente para a mesma direção v1 para m grande, logo Bk = Akq0 1, . . . , Akq0
m não é
uma boa base para AkS (dizemos que Bk é uma base mal-condicionada): pequenas perturbações em um dos
vetores-base podem fazer uma grande diferença no espaço.
Deve-se portanto substituir a base obtida em cada iteração por uma base bem-condicionada. A maneira
mais confiável de fazer isso é ortonormalizar a base. Assim, começa-se com uma base ortonormal B0 =
0 q1, . . . , q0
m para S e obtém-se a base B1
= Aq0 1, . . . , Aq0
m para AS. Através de um processo de
ortonormalização, como o algoritmo de Gram-Schmidt, a partir de B1 obtém-se uma base ortonormal
B1 = q1 1, . . . , q1
m para AS. Em geral, dada uma base ortonormal Bk = qk 1 , . . . , qk
k
m para A S, obtemos
uma base ortonormal Bk+1 = q k+1
1 , . . . , qk+1
k+1
m para A S a partir da base Bk+1
= Aqk 1 , . . . , Aqk
m .
Este procedimento é chamado iteração simultânea com ortonormalização ou simplesmente iteração
simultânea.
8.3 Método QR
O algoritmo mais usado para calcular o conjunto completo de autovalores de uma matriz é o algoritmo
QR, desenvolvido simultanea e independentemente por Francis e Kublanovskaya em 1961. Ele pode ser
compreendido a partir do processo de iteração simultânea.
Consideremos o que acontece quando o processo de iteração simultânea é aplicado a uma base B0 =
0 q1, . . . , q0
n
n de vetores ortonormais para F . Como antes, assumimos que A é diagonalizável com autovalores
λ1, . . . , λn e B = {v1, . . . , vn} é uma base correspondente de autovetores. Assuma
para m = 1, . . . , n − 1, e defina
|λm| > |λm+1|
Sm = q 0 1, . . . , q 0
m ,
Tm = 〈v1, . . . , vm〉 ,
Um = 〈vm+1, . . . , vn〉 .