Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 143
Em outras palavras, escolha vetores u1, v1 tais que o máximo
é realizado nestes vetores, e defina
max
u∈E
max
v∈F
u=1 v=1
〈u, v〉
cos θ1 = 〈u1, v1〉 .
Por exemplo, se dim E = 2 e dim F = 1, então θ1 é o maior ângulo que a reta F faz com retas de E; se
dim E = dim F = 2, então θ1 é o maior ângulo entre uma reta de E e uma reta de F . Em seguida, escolha
vetores u2, v2 tais que o máximo
é realizado nestes vetores, e defina
max
u∈E
u=1
〈u,u1〉=0
max
v∈F
v=1
〈v,v1〉=0
〈u, v〉
cos θ2 = 〈u2, v2〉 .
Por exemplo, se dim E = dim F = 2, então θ2 = 0 porque u2 = v2. E assim por diante definimos os ângulos
principais restantes θ3, . . . , θp. Ângulos principais e vetores principais aparecem em aplicações de estatística
e permitem a definição de uma noção de distância entre subespaços vetoriais de mesma dimensão.
Definição. Dados dois subespaços vetoriais de mesma dimensão S1, S2 ⊂ V a distância dist (S1, S2) entre
S1 e S2 é o seno do maior ângulo principal entre eles.
Dada uma seqüência de subespaços {Sk} ⊂ V e um subespaço T ⊂ V , todos de mesma dimensão,
dizemos que Sk converge para T , denotado por
se
Sk → T
dist (Sk, T ) → 0.
8.1 Teorema. Seja A ∈ Mn (F) uma matriz diagonalizável com autovalores λ1, . . . , λn ∈ F satisfazendo
|λ1| |λ2| . . . |λn|
Seja B = {v1, . . . , vn} ⊂ F n uma base de autovetores correspondente. Suponha que |λm| > |λm+1| para
algum m. Sejam
Tm = 〈v1, . . . , vm〉 ,
Um = 〈vm+1, . . . , vn〉 .
Seja S um subespaço m-dimensional qualquer de Fn tal que S ∩Um = {0}. Então existe uma constante
C > 0 tal que
dist A k k
λm+1
S, Tm C
para todo k.
Em particular, A k S → Tm.
Prova. Embora não demonstraremos o Teorema 8.1 rigorosamente, daremos uma idéia da demonstração.
Seja q ∈ S um vetor arbitrário. Então q se escreve de maneira única na forma
q =
m
aivi +
i=1
n
i=m+1
λm
aivi =: q1 + q2