Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 142
o maior autovalor de A −1 . Este método é chamado método das potências inverso ou iteração inversa (em
contraste, o método das potências é às vezes chamado iteração direta).
Para encontrar os demais autovalores da matriz A, observe que se A tem autovalores λ1, . . . , λn, então
A − σI tem autovalores λ1 − σ, . . . , λn − σ. O escalar σ é chamado um deslocamento. Podemos então aplicar
o método das potências à matriz (A − σI) −1 , pois o maior autovalor desta matriz é 1/ (λ − σ), onde λ é o
autovalor de A mais próximo de σ. De fato, se
(A − σI) −1 v = µv,
então v = µ (A − σI) v, donde
Av = σ + 1
v.
µ
Assim, podemos escolher quais autovalores de A encontrar através da escolha do deslocamento σ. Este
método é chamado iteração com deslocamento.
estimativas para os autovalores de A.
Ele é particularmente eficiente quando possuímos boas
É muito importante notar que tanto na iteração inversa, quanto na iteração com deslocamento, em
nenhum momento é necessário calcular a inversa A−1 recursos. Embora as iteradas satisfazem
explicitamente, o que consumiria muito tempo e
qk+1 = 1
(A − σI) −1 qk,
basta resolver o sistema
e então tomar
8.2 Iteração de Subespaços
σk+1
(A − σI) qk+1 = qk
qk+1 = 1
qk+1.
σk+1
O método de potências pode ser visto como uma iteração de subespaços
S0 = 〈q〉 ,
S1 = AS,
S2 = A 2 S,
.
.
Sk = A k S,
.
.
que convergem para o subespaço T = 〈v1〉 associado ao autovalor dominante de A. Esta idéia pode ser
tornada mais precisa quando se define a distância entre dois subespaços vetoriais.
Definição. Dados dois subespaços vetoriais E, F de um espaço vetorial V de dimensão finita com produto
interno, cujas dimensões m = dim E, p = dim F satisfazem
m p 1,
os ângulos principais θ1, . . . , θp ∈ [0, π/2] entre E e F são definidos recursivamente por
cos θj = max
u∈E
u=1
〈u,ui〉=0
para i=1,...,j−1
max
v∈F
v=1
〈v,vi〉=0
para i=1,...,j−1
〈u, v〉 = 〈uj, vj〉 .
Os vetores {u1, . . . , up} e {v1, . . . , vp} são chamados os vetores principais entre os subespaços E e F .