Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 141
um autovalor simples. Ordene os autovalores de A na forma
|λ1| > |λ2| . . . |λn|
e seja {v1, . . . , vn} uma base correspondente de autovetores. λ1 é chamado o autovalor dominante de A e
v1 um autovetor dominante. Quando A tem um autovalor dominante, este e um correspondente autovetor
dominante podem ser encontrados através do método das potências, que consiste essencialmente em tomar
um vetor q arbitrário e considerar as potências
ou seja,
q, Aq, A 2 q, . . . , A k q, . . .
A k q = A A k−1 q .
Para quase todas as escolhas de q esta seqüência converge em um certo sentido para um autovetor dominante
de A. De fato, para a maioria das escolhas de q devemos ter
q =
com a1 = 0; raramente uma escolha aleatória de q produzirá um vetor no subespaço 〈v2, . . . , vn〉. Temos
donde
A k q = λ k 1
A k q =
a1v1 +
n
i=1
n
i=1
aivi
aiλ k i vi,
Embora A k q → ∞ se λ1 > 1 e A k q → 0 se λ1 < 1, como
k λi
para todo i = 2, . . . , n, segue que a seqüência reescalada
λ1
qk = Ak q
λ k 1
n
k λi
ai vi
λ1
i=2
→ 0,
→ a1v1
converge para um autovetor dominante. No entanto, como o autovalor λ1 não é conhecido a priori, é
impossível trabalhar com esta seqüência. Em geral, escolhemos um fator de escala σk e definimos
qk+1 = 1
σk+1
.
Aqk. (8.1)
O fator de escala σk é comumente escolhido como sendo o valor da coordenada de Aqk que tem o maior
valor absoluto. Deste modo, o maior componente de qk é igual a 1 e a seqüência converge para um autovetor
dominante cujo maior componente é 1.
8.1.1 Iteração Inversa e Iteração com Deslocamento
O método das potência permite apenas encontrar o autovalor dominante. Para obter o menor autovalor de
A, podemos aplicar o método das potências à matriz A −1 , pois se λ é o menor autovalor de A, 1/λ será