Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 13
T . Então, se Wj denota o conjunto dos subespaços de V de dimensão j, temos
⎛
⎞ ⎛
λj = min ⎝ max 〈T x, x〉 ⎠ = min ⎝max
〈T x, x〉
W ∈Wj x∈W
W ∈Wj x∈W x
x=1
x=0
2
⎞
⎠ . (1.6)
ou, dualmente,
λj = max
W ∈Wj−1
⎛
⎞
⎝ min 〈T x, x〉 ⎠ = max
x⊥W
x=1
W ∈Wj−1
⎛
⎝ min
x⊥W
x=0
〈T x, x〉
x 2
⎞
⎠ . (1.7)
Prova: Provemos primeiro (1.6). Seja W ⊂ V um subespaço de dimensão j. Primeiro mostraremos que
max 〈T x, x〉 λj.
x∈W
x=1
Seja B = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores λ1, . . . , λn.
Seja Z = 〈v1, . . . , vj−1〉. Como Z ⊥ = 〈vj, . . . , vn〉, temos
de modo que
n dim W + Z ⊥ = dim W + dim Z ⊥ − dim W ∩ Z ⊥ = j + n − (j − 1) − dim W ∩ Z ⊥ ,
dim W ∩ Z ⊥ 1
e existe um vetor x ∈ W ∩ Z⊥ tal que x = 1. Escrevendo x = n
xkvk, temos x = n
n
n
〈T x, x〉 = xkT vk,
=
k=j
n
k=j
λkx 2 k λj
l=j
n
k=j
xlvl
k=j
k=j
n
n
= xkλkvk,
x 2 k = λj.
l=j
xlvl
=
x
k=j
2 k
n
λkxkxl 〈vk, vl〉
k,l=j
= 1, donde
Para completar a demonstração, devemos encontrar um subespaço W ⊂ V de dimensão j tal que 〈T x, x〉
λj para todo x ∈ W com x = 1. Tomemos W = 〈v1, . . . , vj〉. Temos
j
〈T x, x〉 = xkT vk,
=
k=1
j
k=1
λkx 2 k λj
j
l=1
xlvl
j
k=1
j
= xkλkvk,
x 2 k = λj.
k=1
j
l=1
xlvl
=
j
λkxkxl 〈vk, vl〉
O minimax é atingido em vj.
Vamos agora provar o princípio dual (1.7). Seja W ⊂ V um subespaço de dimensão j − 1. Primeiro
mostraremos que
min 〈T x, x〉 λj.
x⊥W
x=1
Como antes, B = {v1, . . . , vn} é uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores
λ1, . . . , λn. Seja Z = 〈v1, . . . , vj〉. Como W ⊥ tem dimensão n − (j − 1), temos
n dim W ⊥ + Z = dim W ⊥ + dim Z − dim W ⊥ ∩ Z = n − (j − 1) + j − dim W ⊥ ∩ Z ,
k,l=1