Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 138
Prova. Os autovalores do laplaciano são isolados, logo pelo Lema 7.2
ω (λ) > 0 para todo 0 < |λ − λ0| < ε
se ε > 0 é suficientemente pequeno. Como ω (λ) é contínua e ∂Dε (λ0) é compacto, temos
ωε = min ω (λ) > 0.
∂Dε(λ0)
Segue do Lema 7.5 que para todo λ ∈ ∂Dε (λ0) e para todo h suficientemente pequeno temos
ηh < C
1 + 1
ωε,
C
donde
ωh (λ) Cω (λ) − ηh Cωε − ηh > ηh
C ωh
ω (λ0)
(λ0) −
C = ωh (λ0) .
Em particular, ωh (λ) tem um mínimo próprio em Dε (λ0). Pelo lema anterior, isso implica que existe
λh ∈ Dε (λ0) tal que ωh (λh) = 0, isto é, λh é um autovalor discreto.
7.1.3 Convergência das Autofunções
A convergência das autofunções segue do próximo teorema:
7.9 Teorema. Sejam uh autofunções de (7.3) associadas respectivamentes aos autovalores discretos λh e
satisfazendo uhV = 1 e lim λh = λ0. Então existe uma subseqüência uhi que converge em V para
h→0
uma autofunção u0 associada ao autovalor λ0 de (7.2) com u0V = 1.
Prova. Usando o fato que V = W 1,2
0 (Ω) está compactamente imerso em L 2 (Ω), obtemos uma subseqüência
uhi convergente para u0 ∈ L 2 (Ω). Como no Lema 7.4, definimos
z0 = Zλ0 (u0) é a solução de aµ (z0, v) = (λ0 − µ) 〈u0, v〉 L 2 (Ω) para todo v ∈ V,
zhi = Z hi
λ0 (u0) é a solução de aµ (zhi, v) = (λ0 − µ) 〈u0, v〉 L 2 (Ω) para todo v ∈ Vhi.
Dado ε > 0, existe h 1 ε > 0 tal que
se hi < h 1 ε. A função uhi é uma solução de
ou seja, uhi = Z hi
λi (uhi). Segue que
z0 − zhi V < ε
2
aµ (uhi, v) = (λhi − µ) 〈uhi, v〉 L 2 (Ω) para todo v ∈ Vhi,
fi (v) := aµ (zhi − uhi, v)
= (λ0 − µ) 〈u0, v〉 L 2 (Ω) − (λhi − µ) 〈uhi, v〉 L 2 (Ω)
= (λ0 − µ) 〈u0 − uhi, v〉 L 2 (Ω) − (λhi − λ0) 〈uhi, v〉 L 2 (Ω)
para todo v ∈ Vhi. Mas fi → 0 em V ′ porque λhi → λ0 e uhi → u0 em L 2 (Ω), logo existe h 2 ε > 0 tal que
fi V ′ ε
2α
(7.26)