Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 137
7.1.2 Convergência dos Autovalores Discretos para os Autovalores Contínuos
A convergência dos autovalores discretos para os autovalores exatos pode ser agora demonstrada:
7.6 Teorema. Sejam λhi autovalores discretos de (7.3) tais que
Então λ0 é um autovalor de (7.2).
lim λhi = λ0. (7.24)
Prova. Suponha por absurdo que λ0 não é um autovalor de (7.2). Então, pelo Lema 7.2,
ω (λ0) = η0 > 0.
Como ω (λ) é uma função contínua, existe ε0 > 0 tal que
ω (λ) η0
2
para todo λ ∈ Dε0 (λ0) = {z ∈ C : |z − λ0| ε0}. Escolha K = Dε0 (λ0) no Lema 7.5 e sejam ηh e C os
números dados naquele lema. Como lim ηhi = 0, seja h0 > 0 tal que
ηh C η0
4
para todo h h0. Segue dos Lemas 7.2 e 7.5 que para todo λhi ∈ Dε0 (λ0) com hi h0 nós temos
uma contradição.
> 0
0 = ωhi (λhi) Cω (λhi) − ηhi C η0
2
− C η0
4
= C η0
4
7.7 Lema. As funções ω (λ) e ωh (λ) não possuem um mínimo positivo próprio no interior de um compacto
K ⊂ C.
Prova. Seja L o operador associado à forma bilinear a. Sejam µ um ponto interior de K com ω (µ) > 0
e ε > 0 suficientemente pequeno para que Dε (µ) ⊂ K e ω (λ) > 0 para todo λ ∈ Dε (µ). Pelo Lema 7.2,
(L − λI) −1 está definida em Dε (µ), logo é holomórfica aí. Pela fórmula integral de Cauchy,
(L − λI) −1 = 1
2πi ∂Dε(µ)
para todo λ ∈ Dε (µ). Daí,
1
ω (λ) =
(L − λI) −1 max
de modo que
z∈∂Dε(µ)
ω (λ) min ω (z)
z∈∂Dε(µ)
(L − zI) −1
dz
z − λ
(L − zI) −1 = max
z∈∂Dε(µ)
> 0,
1
ω (z) ,
para todo λ ∈ Dε (µ). Portanto, ω (λ) não pode assumir um mínimo próprio em Dε (µ).
A demonstração para ωh (λ) é análoga.
A recíproca do Teorema 7.6, isto é, que todos os autovalores reais podem ser aproximados por uma
seqüência de autovalores discretos, é dada no próximo resultado:
7.8 Teorema. Seja λ0 um autovalor de (7.2). Então existem autovalores discretos λh de (7.3) tais que
lim
h→0 λh = λ0. (7.25)