Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
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Rodney Josué Biezuner 135 para todos u, v ∈ V , para todo λ ∈ K, e β = α − |µ| . (7.19) Consideremos a primeira desigualdade, (7.13). Da definição de ω (λ), segue que para todo u ∈ V vale ω (λ) uV sup |aλ (u, v)| = sup |aµ (u − z, v)| Cµ u − zV . (7.20) v∈V v∈V vV =1 vV =1 Usando o Lema 7.4 e esta última desigualdade escrevemos então sup |aλ (u, v)| = sup |aµ (u − zh, v)| v∈Vh v∈Vh vV =1 vV =1 ωh (µ) u − zh V para todo u ∈ V . Escolhendo u ∈ Vh tal que u V = 1 e obtemos ωh (λ) = inf u∈Vh uV =1 sup v∈Vh v V =1 β u − zhV β (u − zV − z − zhV ) ω (λ) β − Zλ − Z h λ Cµ |aλ (u, v)| = min u∈Vh ωh (λ) β Cµ sup v∈Vh uV =1 vV =1 u V |aλ (u, v)| = sup |aλ (u, v)| , v∈Vh vV =1 ω (λ) − β Zλ − Z h λ . (7.21) Portanto, (7.13) segue se provarmos que lim h→0 sup Zλ − Z λ∈K h λ = 0. (7.22) Da mesma forma, a demonstração de (7.14) depende de (7.22). De fato, pela definição de ωh (λ) segue que para todo uh ∈ Vh temos ωh (λ) uhV sup |aλ (uh, v)| = sup |aµ (uh − zh, v)| Cµ uh − zhV . (7.23) v∈Vh v∈Vh vV =1 vV =1 Usando o Lema 7.4 e esta última desigualdade escrevemos sup |aλ (uh, v)| = sup |aµ (uh − z, v)| v∈V v∈V vV =1 vV =1 para todo uh ∈ Vh. Escolha u ∈ V tal que u V = 1 e ω (λ) = inf u∈V sup v∈V uV =1 vV =1 ω (µ) uh − z V β uh − zV β (uh − zhV − z − zhV ) ωh (λ) β − Zλ − Z h λ |aλ (u, v)| = min u∈V Cµ sup v∈V uV =1 vV =1 uh V |aλ (u, v)| = sup |aλ (u, v)| . v∈V vV =1
Rodney Josué Biezuner 136 Como segue que donde sup |aλ (u − uh, v)| C0 u − uhV , v∈V vV =1 ω (λ) + C0 u − uhV sup |aλ (u, v)| + sup |aλ (u − uh, v)| v∈V v∈V vV =1 vV =1 Cµ sup v∈V v V =1 |aλ (uh, v)| ωh (λ) β − Zλ − Z h λ uhV , Cµ β ω (λ) ωh (λ) − β Zλ − Z h λ uhV − C0 u − uhV . Como para cada h podemos escolher uh tal que u − uhV → 0 quando h → 0, por (7.7), (7.14) será provado se (7.22) for verdadeiro. Para terminar a demonstração do lema, provaremos agora (7.22). Suponha por absurdo que existe ε > 0, {λi} ⊂ K e hi → 0 tal que Zλi − Z hi ε. Então existe uma seqüência {ui} ⊂ V com uiV = 1 tal que Zλi (ui) − Z hi λi (ui) Pela compacidade de K e da imersão V −→ L 2 (Ω), podemos assumir a menos de uma subseqüência que λi → λ0, λi V ui → u0 em V ′ . ε 2 . Segue do fato que a solução dada por elementos finitos aproxima a solução exata que Zλ0 (u0) − Z hi λ0 (u0) → 0. Logo, uma contradição. Zλi (ui) − Z hi λi (ui) V V Zλi (ui) − Zλ0 (ui)V + Z hi λ0 (ui) − Z hi λi (ui) V + Zλ0 (ui − u0)V + Z hi λ0 (u0 − ui) V + Zλ0 (u0) − Z hi λ0 (u0) V 2C |λi − λ0| + 2Cz u0 − uiV ′ + Zλ0 (u0) − Z hi λ0 (u0) → 0 V
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Rodney Josué Biezuner 136<br />
Como<br />
segue que<br />
<strong>do</strong>n<strong>de</strong><br />
sup |aλ (u − uh, v)| C0 u − uhV ,<br />
v∈V<br />
vV =1<br />
ω (λ) + C0 u − uhV sup |aλ (u, v)| + sup |aλ (u − uh, v)|<br />
v∈V<br />
v∈V<br />
vV =1<br />
vV =1<br />
Cµ<br />
sup<br />
v∈V<br />
v V =1<br />
|aλ (uh, v)|<br />
<br />
ωh (λ)<br />
β − Zλ − Z h <br />
<br />
<br />
λ uhV ,<br />
Cµ<br />
<br />
β<br />
ω (λ) ωh (λ) − β Zλ − Z h <br />
<br />
<br />
λ uhV − C0 u − uhV .<br />
Como para cada h po<strong>de</strong>mos escolher uh tal que u − uhV → 0 quan<strong>do</strong> h → 0, por (7.7), (7.14) será prova<strong>do</strong><br />
se (7.22) for verda<strong>de</strong>iro.<br />
Para terminar a <strong>de</strong>monstração <strong>do</strong> lema, provaremos agora (7.22). Suponha por absur<strong>do</strong> que existe ε > 0,<br />
{λi} ⊂ K e hi → 0 tal que <br />
Zλi − Z hi<br />
<br />
<br />
ε.<br />
Então existe uma seqüência {ui} ⊂ V com uiV = 1 tal que<br />
<br />
<br />
Zλi (ui) − Z hi<br />
λi (ui)<br />
<br />
<br />
Pela compacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> K e da imersão V −→ L 2 (Ω), po<strong>de</strong>mos assumir a menos <strong>de</strong> uma subseqüência que<br />
λi → λ0,<br />
λi<br />
V<br />
ui → u0 em V ′ .<br />
ε<br />
2 .<br />
Segue <strong>do</strong> fato que a solução dada por elementos finitos aproxima a solução exata que<br />
<br />
<br />
Zλ0 (u0) − Z hi<br />
λ0 (u0)<br />
<br />
<br />
→ 0.<br />
Logo,<br />
uma contradição. <br />
<br />
<br />
Zλi (ui) − Z hi<br />
λi (ui)<br />
<br />
<br />
V<br />
V<br />
<br />
<br />
Zλi (ui) − Zλ0 (ui)V + Z hi<br />
λ0 (ui) − Z hi<br />
λi (ui)<br />
<br />
<br />
<br />
V<br />
<br />
<br />
+ Zλ0 (ui − u0)V + Z hi<br />
λ0 (u0<br />
<br />
<br />
− ui) <br />
V<br />
<br />
<br />
+ Zλ0 (u0) − Z hi<br />
λ0 (u0)<br />
<br />
<br />
<br />
V <br />
<br />
2C |λi − λ0| + 2Cz u0 − uiV ′ + Zλ0 (u0) − Z hi<br />
λ0 (u0)<br />
<br />
<br />
→ 0<br />
V
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