Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 135
para todos u, v ∈ V , para todo λ ∈ K, e
β = α − |µ| . (7.19)
Consideremos a primeira desigualdade, (7.13). Da definição de ω (λ), segue que para todo u ∈ V vale
ω (λ) uV sup |aλ (u, v)| = sup |aµ (u − z, v)| Cµ u − zV . (7.20)
v∈V
v∈V
vV =1
vV =1
Usando o Lema 7.4 e esta última desigualdade escrevemos então
sup |aλ (u, v)| = sup |aµ (u − zh, v)|
v∈Vh
v∈Vh
vV =1
vV =1
ωh (µ) u − zh V
para todo u ∈ V . Escolhendo u ∈ Vh tal que u V = 1 e
obtemos
ωh (λ) = inf
u∈Vh
uV =1
sup
v∈Vh
v V =1
β u − zhV β (u − zV − z − zhV )
ω (λ)
β − Zλ − Z h
λ
Cµ
|aλ (u, v)| = min
u∈Vh
ωh (λ) β
Cµ
sup
v∈Vh
uV =1 vV =1
u V
|aλ (u, v)| = sup |aλ (u, v)| ,
v∈Vh
vV =1
ω (λ) − β Zλ − Z h
λ . (7.21)
Portanto, (7.13) segue se provarmos que
lim
h→0 sup
Zλ − Z
λ∈K
h
λ = 0. (7.22)
Da mesma forma, a demonstração de (7.14) depende de (7.22). De fato, pela definição de ωh (λ) segue
que para todo uh ∈ Vh temos
ωh (λ) uhV sup |aλ (uh, v)| = sup |aµ (uh − zh, v)| Cµ uh − zhV . (7.23)
v∈Vh
v∈Vh
vV =1
vV =1
Usando o Lema 7.4 e esta última desigualdade escrevemos
sup |aλ (uh, v)| = sup |aµ (uh − z, v)|
v∈V
v∈V
vV =1
vV =1
para todo uh ∈ Vh. Escolha u ∈ V tal que u V = 1 e
ω (λ) = inf
u∈V
sup
v∈V
uV =1 vV =1
ω (µ) uh − z V
β uh − zV β (uh − zhV − z − zhV )
ωh (λ)
β − Zλ − Z h
λ
|aλ (u, v)| = min
u∈V
Cµ
sup
v∈V
uV =1 vV =1
uh V
|aλ (u, v)| = sup |aλ (u, v)| .
v∈V
vV =1