Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 133
Defina a forma bilinear
aλ (u, v) = a (u, v) − λ 〈u, v〉 L 2 (Ω) . (7.9)
Se a é coerciva com constante de coercividade α, então aλ também é coerciva para todo |λ| < α (veja Lema
7.2 a seguir). Em seguida, considere os números
ω (λ) = inf
u∈V
sup
v∈V
uV =1 vV =1
ωh (λ) = inf
u∈Vh
uV =1
sup
v∈Vh
v V =1
|aλ (u, v)| , (7.10)
|aλ (u, v)| . (7.11)
A relação entre os números ω (λ) e ωh (λ) e os respectivos problemas de autovalores é dada pelos Lemas 7.1
e 7.2 a seguir.
A uma forma bilinear contínua a : V × V −→ R podemos associar de forma única um operador linear
contínuo L : V −→ V ′ que satisfaz
a (u, v) = (Lu) (v) . (7.12)
Além disso, se
para todos u, v ∈ V , então
|a (u, v)| C u V v V
L C.
7.1 Lema. Sejam L e Lh os operadores lineares associados às formas bilineares a : V × V −→ R e a :
Vh × Vh −→ R, respectivamente.
Se λ não é um autovalor, temos
1
ω (λ) =
(L − λI) −1 ,
1
ωh (λ) =
(Lh − λI) −1 .
Prova. Se λ não é um autovalor, então o operador linear L − λI é invertível pela alternativa de Fredholm.
Observe que L − λI é precisamente o operador linear associado à forma bilinear aλ. Denotando A = L − λI,
temos
ω (λ) = inf sup
u∈V v∈V
u=0 v=0
= inf
u ′ ∈V ′
u ′ =0
=
1
A −1 .
|aλ (u, v)|
u V v V
1
A −1 u ′ V
A demonstração para ωh (λ) é análoga.
= inf sup
u∈V v∈V
u=0 v=0
|u
sup
v∈V
v=0
′ (v)|
= inf
vV u ′ ∈V ′
u ′ =0
|(Au) (v)|
u V v V
1
= inf
A −1 u ′ V
7.2 Lema. λ é um autovalor de (7.2) se e somente se ω (λ) = 0.
λh é um autovalor de (7.3) se e somente se ωh (λh) = 0.
u ′ ∈V ′
u ′ =0
sup
v∈V
v=0
u ′ V
AA −1 u ′ (v)
A −1 u ′ V v V
Prova. Se λ é um autovalor de (7.2), então por definição existe u ∈ V tal que aλ (u, v) = 0 para todo v ∈ V ,
donde ω (λ) = 0. Reciprocamente, se λ não é um autovalor, pelo lema anterior ω (λ) = 0. A demonstração
para ωh (λ) é análoga.