Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Capítulo 7
Aproximação de Autovalores do
Laplaciano
Neste capítulo desejamos mostrar que tanto os autovalores da matriz de discretização, quanto os autovalores
da matriz de rigidez, são aproximações para os autovalores do laplaciano, o que produz métodos numéricos
para encontrar os autovalores do laplaciano em domínios arbitrários.
7.1 Elementos Finitos
Como vimos, o problema de autovalor para o laplaciano com condição de Dirichlet
−∆u = λu em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
pode ser formulado variacionalmente como
onde
a (u, v) = λ 〈u, v〉 L 2 (Ω)
a (u, v) = 〈∇u, ∇v〉 L2 (Ω) =
(7.1)
para todo v ∈ V = W 1,2
0 (Ω) , (7.2)
Ω
∇u · ∇v.
A discretização correspondente de Ritz-Galerkin (isto é, elementos finitos) do problema de autovalor é
a (uh, v) = λh 〈uh, v〉 L 2 (Ω) para todo v ∈ Vh. (7.3)
Escolhendo uma base B = {ϕ1, . . . , ϕn} para Vh, de modo que
e
a (uh, v) =
〈uh, v〉 L 2 (Ω) =
uh =
n
uiϕi, v =
i=1
n
uia (ϕi, ϕj) vj =
i,j=1
n
i=1
viϕi
n
ui 〈∇ϕi, ∇ϕj〉 L2 (Ω)
vj = u t hAv,
i,j=1
n
ui 〈ϕi, ϕj〉 L2 (Ω)
vj = u t hMv,
i,j=1
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