Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 130
Prova. Como
e
segue que
Para todo v ∈ Vh vale então
donde
a (u, v) = f (v) para todo v ∈ V
a (uh, v) = f (v) para todo v ∈ Vh,
a (u − uh, v) = 0 para todo v ∈ Vh. (6.42)
α u − uh 2
V a (u − uh, u − uh) + a (u − uh, uh − v)
= a (u − uh, u − v)
Λ u − uh V u − v V ,
u − uh 2
V
Λ
α ∇u − ∇v L 2 (Ω)
para todo v ∈ Vh.
Introduzimos uma norma equivalente em V , induzida pela forma bilinear simétrica a, definindo
De fato,
Esta norma é chamada norma da energia.
v a = a (v, v) 1/2 . (6.43)
√ α vV v a √ Λ v V .
6.9 Proposição. (Melhor Aproximação) Se u ∈ V é a solução exata para o problema variacional (6.36) e
uh é a solução do problema discretizado (6.37), então
u − uh a u − v a
para todo v ∈ Vh, ou seja, uh é a melhor aproximação para u em Vh na norma da energia.
Prova. A demonstração é análoga à da proposição anterior.
(6.44)