Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 129
Para provar a estimativa de estabilidade, escreva
α u 2
V a (u, u) = f (u) C u V .
Observe que pelo Teorema de Lax-Milgram a solução para o problema variacional existe mesmo se a forma
bilinear não é simétrica. No entanto, neste caso não existe um problema de minimização associado.
Seja Vh um subespaço de V de dimensão finita. Seja B = {ϕ1, . . . , ϕn} uma base para Vh e
v = v1ϕ1 + . . . + vnϕn
a representação de v nesta base. Se uh ∈ Vh satisfaz o problema variacional
então em particular
Escrevendo
obtemos um sistema linear nas incógnitas u1, . . . , un:
A matriz do sistema
é chamada matriz de rigidez.
a (uh, v) = f (v) para todo v ∈ Vh, (6.37)
a (uh, ϕj) = f (ϕj) para todo j = 1, . . . , n. (6.38)
uh = u1ϕ1 + . . . + unϕn, (6.39)
n
a (ϕi, ϕj) ui = f (ϕj) para j = 1, . . . , n. (6.40)
i=1
⎡
⎢
A = ⎣
a (ϕ1, ϕ1)
.
.
. . . a (ϕ1, ϕn)
.
.
⎤
⎥
⎦
a (ϕn, ϕ1) . . . a (ϕn, ϕn)
6.7 Proposição. Se a : V × V −→ R é uma forma bilinear simétrica, limitada e coerciva em V , então a
matriz de rigidez é simétrica e positiva definida.
Em particular, existe uma única solução para o problema discretizado (6.37). Além disso, vale a mesma
estimativa de estabilidade do lema anterior.
Prova. Seja A = (aij). Se ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn é um vetor não-nulo e v = n
ξiϕi, temos
〈Aξ, ξ〉 =
⎛
n
aijξiξj =
n
n n
a (ϕi, ϕj) ξiξj = a ⎝ ξiϕi,
i,j=1
i,j=1
Vamos agora provar a seguinte estimativa de erro:
i=1
j=1
ξjϕj
⎞
i=1
⎠ = a (v, v) α v 2
V
6.8 Proposição. (Estimativa de Erro) Se u ∈ V é a solução exata para o problema variacional (6.36) e uh
é a solução do problema discretizado (6.37), então
para todo v ∈ Vh.
u − uh V Λ
α u − v V
> 0.
(6.41)