Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 12
1.4 Métodos Variacionais para Autovalores de Operadores Lineares
Nesta seção vamos rever os métodos variacionais para a obtenção de autovalores para operadores lineares
definidos em espaços de dimensão finita providos de produto interno. A teoria será então generalizada mais
tarde para obter a existência e algumas propriedades básicas dos autovalores do laplaciano. Em primeiro
lugar, discutiremos o Princípio de Rayleigh, que afirma que o menor autovalor de um operador linear pode
ser encontrado como o mínimo de um certo funcional, enquanto que o seu maior autovalor é o máximo deste
mesmo funcional:
1.3 Teorema. (Princípio de Rayleigh) Seja V um espaço vetorial com produto interno de dimensão n e
T : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Sejam λ1 . . . λn os autovalores de T , de modo que
λ1 é o menor autovalor de T e λn é o maior autovalor de T . Então
e
λ1 = min
x∈V
x=0
λn = max
x∈V
x=0
〈T x, x〉
2 = min 〈T x, x〉 (1.4)
x
x∈V
x=1
〈T x, x〉
2 = max 〈T x, x〉 (1.5)
x
x∈V
x=1
Prova: Seja B = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores
λ1 . . . λn de T . Então, para todo x = n
xivi ∈ V temos
〈T x, x〉 =
=
=
T
n
i=1
xivi
,
n
j=1
n
〈λixivi, xjvj〉 =
i,j=1
n
i=1
λix 2 i .
Portanto, para todo x ∈ V , x = 0, vale
λ1 x 2 =
i=1
xjvj
n
n
= xiT vi,
i=1
n
λixixj 〈vi, vj〉
i,j=1
n
λ1x 2 i 〈T x, x〉
i=1
j=1
xjvj
n
n
= λixivi,
i=1
n
λnx 2 i = λn x 2
O mínimo é atingido em x = v1, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λ1, e o máximo é atingido
em x = vn, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λn.
O quociente
〈T x, x〉
x 2
é chamado o quociente de Rayleigh.
Os demais autovalores de T , λ2, . . . , λn−1, são pontos de sela e podem ser encontrado através de um
princípio de minimax:
1.4 Teorema. (Princípio de Minimax para Autovalores) Seja V um espaço vetorial com produto interno de
dimensão n e T : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Sejam λ1 . . . λn os autovalores de
i=1
j=1
xjvj