Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 128
No caso da equação de Poisson com condição de Dirichlet homogênea, temos V = W 1,2
0 (Ω) e
de modo que a é simétrica.
a (u, v) =
f (v) =
Ω
Ω
∇u · ∇v,
6.6 Lema. Sejam V um espaço de Hilbert, a : V × V −→ R uma forma bilinear simétrica, limitada e
coerciva em V com
|a (v, v)| α v 2
V para todo v ∈ V
fv,
e f : V −→ R um funcional linear limitado em V com
|f (v)| C v V
para todo v ∈ V.
Então existe uma única solução u ∈ V para o problema variacional
a (u, v) = f (v) para todo v ∈ V. (6.36)
se e somente se existe uma única solução u ∈ V para o problema de minimização
F (u) = min F (v) .
v∈V
Além disso, existe de fato uma única solução u ∈ V para estes problemas e ela satisfaz a seguinte
condição de estabilidade:
u V C
α .
Prova. A existência de solução para o problema variacional segue do teorema de Lax-Milgram. Suponha
que u satisfaz o problema variacional. Dado v ∈ V , escreva w = u − v. Temos
F (v) = F (u + w) = 1
a (u + w, u + w) − f (u + w)
2
= 1
2
1
a (u, u) + a (u, w) + a (w, w) − f (u) − f (w)
2
= 1
2
= F (u) + 1
α
a (w, w) F (u) +
2 2 w2 V
F (u) .
1
a (u, u) + f (w) + a (w, w) − f (u) − f (w)
2
Reciprocamente, suponha que u é um minimizador para o funcional F em V . Considere a função quadrática
g : R −→ R definida por
g (t) = F (u + tv) = 1
a (u + tv, u + tv) − f (u + tv)
2
= 1
t2
a (u, u) + ta (u, v) + a (v, v) − f (u) − tf (v)
2 2
= t2
a (v, v) + t [ a (u, v) − f (v)] + F (u) .
2
Como u é um ponto de mínimo para F , 0 é um ponto de mínimo para g, logo g ′ (0) = a (u, v) − f (v) = 0
para todo v ∈ V .