Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 125
6.2.1 Formulação Variacional
Para obter uma formulação variacional deste problema, defina
e
V = W 1,2
0 (Ω) (6.16)
F (v) = 1
|∇v (x)|
2 Ω
2
dx − f (x) v (x) dx =
Ω
1
2 ∇vL2 (Ω) − 〈f, v〉 L2 (Ω) . (6.17)
Como vimos no Capítulo 1, os problemas variacional e de minimização são equivalentes e a solução de ambos
é a solução do problema (6.15):
6.3 Proposição. u ∈ V é uma solução do problema (6.15), se e somente se u é a solução única do problema
variacional
〈∇u, ∇v〉 L 2 (Ω) = 〈f, v〉 L 2 (Ω) para todo v ∈ V, (6.18)
ou, equivalentemente, se e somente se u satisfaz
F (u) = min F (v) . (6.19)
v∈V
6.2.2 Triangulações e Elementos Finitos Lineares por Partes
Vamos agora construir um subespaço Vh de dimensão finita de V consistindo das funções lineares por partes
em Ω. Por simplicidade, assumiremos que Ω é um domínio poligonal, significando que ∂Ω é uma curva poligonal
(no caso geral, é necessário antes aproximar ∂Ω por uma curva poligonal). Fazemos uma triangulação
de Ω subdividindo Ω em um conjunto de triângulos que não se sobrepõem, podendo se interceptar apenas
ao longo de uma aresta em comum ou em um vértice em comum:
Ω =
N
Ti. (6.20)
i=1
Esta triangulação de Ω é também chamada uma malha triangular e os vértices da triangulação são freqüentemente
chamados nodos. Definimos o parâmetro da malha
h = max
i=1,...,N (diam Ti) . (6.21)
Observe que o diâmetro de um triângulo é o comprimento de seu maior lado. Definimos o subespaço Vh de
dimensão finita de V por
Vh = {v ∈ V : v é contínua em Ω e linear em Ti para i = 1, . . . , N} . (6.22)
Para descrever uma função v ∈ Vh, é suficiente conhecer os n valores de v nos n nodos internos da triangulação
de Ω: x1, . . . , xn (nos nodos da fronteira, v é nula). Introduzimos uma base B = {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ Vh para Vh
declarando
1 se i = j,
ϕj (xi) =
(6.23)
0 se i = j.
As funções v de V têm a seguinte representação em termos das funções base ϕ1, . . . , ϕn:
v = v (x1) ϕ1 + . . . + v (xn) ϕn
(6.24)
e dim Vh = n. Note que o suporte de ϕj consiste dos triângulos que têm xn como um nodo comum. Tais
funções bases podem ser definidas da seguinte forma. Se Tk é um triângulo da triangulação de Ω que tem xi