Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 124
é chamado o vetor de carga, terminologia emprestada das primeiras aplicações do método de elementos
finitos em mecânica de estruturas; o método foi inventado por engenheiros para tratar de tais problemas na
década de 1950. As entradas da matriz de rigidez podem ser facilmente calculados. Primeiro observe que
′
ϕ i, ϕ ′
j L2 = 0 se |i − j| > 1,
porque, neste caso, onde ϕ ′ i não se anula, ϕ′ j se anula, e vice-versa. Em particular, segue que a matriz A
é uma matriz esparsa tridiagonal. A escolha especial de Vh e das funções base garantiu a esparsidade da
matriz de rigidez. Os elementos da diagonal principal da matriz de rigidez são dados por
〈ϕ ′ i, ϕ ′ i〉 L 2 =
xi+1
ϕ
xi−1
′ i (x) 2 xi 1
dx =
xi−1 h2 i
dx +
xi+1
enquanto que os elementos das diagonais secundárias são dados por
Resumindo,
′
ϕ i, ϕ ′
i+1 L2 =
xi+1
ϕ ′ i (x) ϕ ′ xi+1
i+1 (x) dx =
xi
′
ϕ i, ϕ ′
j L2 =
⎧
⎪⎨ ⎪ ⎩
xi
xi
1
h 2 i+1
− 1
1
hi+1
1
+
hi
1
se i = j,
hi+1
− 1
se |i − j| = 1,
hi+1
0 se |i − j| > 1.
dx = 1
hi+1
hi
+ 1
,
hi+1
dx = − 1
hi+1
.
(6.14)
A matriz de rigidez também é positiva definida, Se ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn é um vetor não-nulo e v = n
ξiϕi,
temos
〈Aξ, ξ〉 =
n
aijξiξj =
i,j=1
No caso especial em que
n
i,j=1
′
ϕ i, ϕ ′
j L2
n
ξiξj = ξiϕ
i=1
′ i,
hi = xi − xi−1 = 1
=: h,
n + 1
n
j=1
ξjϕ ′ j
L 2
= 〈v ′ , v ′ 〉 L 2 > 0.
a matriz de rigidez é exatamente a matriz de discretização de diferenças finitas centradas:
1
h2 ⎡
2 −1
⎤
⎢
−1
⎢
⎣
2
−1
−1
. ..
. ..
. ..
. ..
−1
−1
2 −1
⎥ .
⎥
⎦
−1 2
6.2 O Caso Bidimensional
Nesta seção, desenvolveremos métodos de elementos finitos para resolver o problema de Dirichlet para a
equação de Poisson em um domínio Ω ⊂ R2 :
−∆u = f em Ω,
(6.15)
u = 0 sobre ∂Ω,
onde f é uma função contínua.
i=1