Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 123
Como u é um ponto de mínimo para F , 0 é um ponto de mínimo para g, logo g ′ (0) = 〈u ′ , v ′ 〉 − 〈f, v〉 L 2 = 0.
O problema variacional é chamado método de Galerkin, enquanto que o problema de minimização é
chamado método de Ritz. Coletivamente, eles são chamados simplesmente de método de Ritz-Galerkin.
6.1.2 Elementos Finitos Lineares por Partes
Vamos agora construir um subespaço Vh de dimensão finita de V consistindo das funções lineares por partes
em [0, 1]. Seja
0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 = 1
uma partição do intervalo [0, 1] em n+1 subintervalos Ij = [xj−1, xj] de comprimento hj = xj −xj−1. Defina
Vh = {v ∈ V : v é linear em Ij para j = 0, . . . , n} . (6.6)
Observe que para descrever uma função v ∈ Vh é suficiente conhecer os n valores v (x1) , . . . , v (xn). Introduzimos
uma base B = {ϕ1, . . . , ϕn} ⊂ Vh para Vh declarando
1 se i = j,
ϕj (xi) =
(6.7)
0 se i = j,
(note que como estas funções são não-negativas, esta base é evidentemente não-ortogonal). Assim as funções
v de V têm a representação
v = v (x1) ϕ1 + . . . + v (xn) ϕn. (6.8)
As funções ϕ1, . . . , ϕn são chamadas funções base. Note que dim Vh = n. Observe que estas funções têm
suporte compacto, e que o suporte está contido em dois subintervalos adjacentes.
Se uh ∈ Vh satisfaz o problema variacional
〈u ′ h, v ′ 〉 L 2 = 〈f, v〉 L 2 para todo v ∈ Vh, (6.9)
então em particular ′
u h, ϕ ′
j L2 Escrevendo
= 〈f, ϕj〉 L2 para todo j = 1, . . . , n. (6.10)
ou
uh = uh (x1) ϕ1 + . . . + uh (xn) ϕn
uh = u1ϕ1 + . . . + unϕn, (6.11)
onde denotamos ui = uh (xi), obtemos um sistema linear nas incógnitas u1, . . . , un:
A matriz do sistema
n
i=1
′
ϕ i, ϕ ′
j L2 ui = 〈f, ϕj〉 L2 para j = 1, . . . , n. (6.12)
A =
⎡
⎢
⎣
〈ϕ ′ 1, ϕ ′ 1〉 L 2 . . . 〈ϕ ′ 1, ϕ ′ n〉 L 2
.
.
.
.
〈ϕ ′ n, ϕ ′ 1〉 L 2 . . . 〈ϕ ′ n, ϕ ′ n〉 L 2
⎤
⎥
⎦ (6.13)
é uma matriz simétrica porque ϕ ′ i , ϕ′
j L2 = ϕ ′ j , ϕ′
i L2. Ela é chamada a matriz de rigidez e o vetor
⎡ ⎤
b =
⎢
⎣
〈f, ϕ1〉 L 2
.
.
〈f, ϕn〉 L 2
⎥
⎦