Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 122
6.1 Proposição. (Problema Variacional) Se u ∈ V é uma solução do problema (6.1), então u é a solução
única do problema variacional
Prova. Multiplicando a equação
〈u ′ , v ′ 〉 L 2 = 〈f, v〉 L 2 para todo v ∈ V. (6.4)
−u ′′ (x) = f (x)
por uma função teste v ∈ V e integrando sobre o intervalo (0, 1), obtemos
Integrando por partes, temos
Portanto,
1
0
−
1
0
u ′′ (x) v (x) dx =
u ′′ (x) v (x) dx = u (x) v (x)| 1
0 −
1
1
u
0
′ (x) v ′ 1
(x) dx =
0
0
f (x) v (x) dx.
1
u
0
′ (x) v ′ 1
(x) dx = − u
0
′ (x) v ′ (x) dx.
f (x) v (x) dx.
A unicidade de solução para o problema variacional (6.4) é facilmente determinada. Se u1, u2 satisfazem
para todo v ∈ V , então
〈u ′ 1, v ′ 〉 L 2 = 〈f, v〉 L 2 ,
〈u ′ 2, v ′ 〉 L 2 = 〈f, v〉 L 2 ,
〈u ′ 1 − u ′ 2, v ′ 〉 L 2 = 0
para todo v ∈ V , em particular para v = u1 − u2, donde
u ′ 1 − u ′ 2 L 2 = 0.
Isso implica u1 − u2 = c para alguma constante c, e as condições de fronteira implicam que c = 0.
6.2 Proposição. (Problema de Minimização) u ∈ V é uma solução do problema variacional (6.4), se e
somente se u satisfaz
F (u) = min F (v) . (6.5)
v∈V
Prova. Suponha que u satisfaz (6.4). Dado v ∈ V , escreva w = u − v. Temos
F (v) = F (u + w) = 1
2 u′ + w ′ L2 − 〈f, u + w〉 L2 = 1
2 u′ L2 + 〈u ′ , w ′ 〉 + 1
2 w′ L2 − 〈f, u〉 L2 − 〈f, w〉 L2 = 1
2 u′ L2 − 〈f, u〉 L2 + 〈u ′ , w ′ 〉 − 〈f, w〉 L2 + 1
2 w′ L2 = F (u) + 1
2 w′ L2 F (u) .
Reciprocamente, suponha que u é um minimizador para o funcional F em V . Considere a função quadrática
g : R −→ R definida por
g (t) = F (u + tv) .
Temos
g (t) = 1
2 u′ L 2 + t 〈u ′ , v ′ 〉 + t2
2 v′ L 2 − 〈f, u〉 L 2 − t 〈f, v〉 L 2
= t2
2 v′ L 2 + t [ 〈u ′ , v ′ 〉 − 〈f, v〉 L 2] + F (u) .