Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 11
d = diam Ω. Se x ∈ ∂Ω, temos
M − m
v (x) m +
4d2 d2 = 3
4
m + M
4
e como u (x0) = v (x0) = M, segue que o máximo de v também é assumido em um ponto de Ω\∂Ω, digamos
em x. Mas, como x é um ponto de máximo para v, devemos ter
∆v (x) 0,
< M,
enquanto que, pela definição de v e pelo fato de u satisfazer a equação de Laplace, para todo x temos
∆v (x) = ∆u (x) +
M − m
2d 2
M − m
2d2 > 0,
uma contradição. Isso mostra que u atinge o seu máximo em ∂Ω.
Para provar a segunda afirmação, basta considerar −u e observar que min u = − max(−u).
Defina a parte positiva e a parte negativa de uma função u respectivamente por
u + = max(u, 0),
u − = min(u, 0).
1.2 Corolário. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado. Seja λ ∈ R, λ 0. Seja u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω).
Se −∆u − λu 0 em Ω, então
Se −∆u − λu 0 em Ω, então
max u max
Ω ∂Ω u+ .
min u min
Ω ∂Ω u− .
Em particular, se u satisfaz −∆u = λu em Ω, então
max |u| = max
Ω
∂Ω |u|
de modo que se o problema de Dirichlet
−∆u = λu em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
possuir solução u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), então a solução é trivial. Conseqüentemente, o problema de
Dirichlet para o laplaciano não possui autovalores negativos ou nulos.
Prova. Assuma primeiro −∆u − λu 0 em Ω. Se u 0 em Ω, então o corolário vale trivialmente. Logo,
podemos assumir que Ω + = {x ∈ Ω : u(x) > 0} = ∅. Como −λu 0 em Ω + , temos que ∆u 0 em Ω + .
Segue do Princípio do Máximo Fraco que
max
Ω +
u = max u.
∂Ω +
Mas u = 0 em ∂Ω + ∩ Ω, logo o máximo deve ser atingido em ∂Ω. O caso −∆u − λu 0 segue do primeiro
considerando −u.