Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 116
ou
e k+1 = e k − αkp k , (4.74)
basta escolher as direções de busca subseqüentes conjugadas a p 0 . Se escolhemos p 1 conjugado a p 0 , obtemos
x 2 para o qual o erro satisfaz e 2 ⊥A p 1 ; como p 1 ⊥A p 0 , segue de (4.74) que e 2 ⊥A p 0 também. Para manter
os erros subseqüentes conjugados a p 0 e p 1 , basta escolher as direções de busca subseqüentes conjugadas a
p 0 e p 1 . Assim, vemos que para obter a condição (4.72) basta escolher as direções de busca de tal forma que
p i ⊥A p j para todos i = j.
Um método com estas características é chamado um método de direções conjugadas. Estes resultados
são resumidos na proposição a seguir:
4.28 Teorema. Se um método emprega direções de busca conjugadas e performa buscas na reta exatas,
então
e j ⊥A p i
para i = 1, . . . , j − 1,
para todo j. Conseqüentemente
e j
= min e A p∈Wj
0 − p , A
onde Wj = p 0 , p 1 , . . . , p j−1 .
Prova: A demonstração é por indução. Para j = 1, temos e 1 ⊥A p 0 pela Proposição 4.27 porque a busca
na reta é exata. Em seguida, assuma e j ⊥A p i para i = 1, . . . , j − 1; queremos mostrar que e j+1 ⊥A p i
para i = 1, . . . , j. Como
e j+1 = e j − αjp j ,
para i = 1, . . . , j − 1 temos
e j+1 , p i
A = e j − αjp j , p i
A = e j , p i
A
− αj
p j , p i
A
= 0 − 0 = 0
porque as direções de busca são conjugadas. e j+1 ⊥A p j segue novamente da Proposição 4.27.
Quando a direção inicial é dada pelo vetor gradiente de f, como na primeira iteração do método da descida
mais acentuada, obtemos o método do gradiente conjugado. As direções subseqüentes são escolhidas
através de A-ortogonalizar o resíduo (ou vetor gradiente de f, que é a direção de busca em cada iteração
do método da descida mais acentuada) com todas as direções de busca anteriores, para isso utilizando o
algoritmo de Gram-Schmidt. Assim, dado um chute inicial p 0 , a primeira direção é
ou seja, a direção inicial é o primeiro resíduo:
p 0 = −∇f x 0 = b − Ax 0 = r 0
Depois de k passos com direções de busca conjugadas p 0 , . . . , p k , escolhemos
p k+1 = r k+1 −
onde os cki são dados pelo algoritmo de Gram-Schmidt:
k+1 i r , p
cki =
p 0 = r 0 . (4.75)
k
i=0
〈p i , p i 〉 A
ckip i
A
(4.76)
. (4.77)
de forma que p k+1 ⊥A p i para todos i = 1, . . . , k. Felizmente, como veremos a seguir depois de algum trabalho
preliminar (Corolário 4.32), cki = 0 para todo i exceto i = k, o que torna necessário que apenas a direção