Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 115
4.26 Proposição. Sejam A ∈ Mn (R) uma matriz simétrica positiva definida, v ∈ R n e W um subsespaço
de R n . Então existe um único w ∈ W tal que
v − w A = min
z∈W v − z A .
O vetor w é caracterizado pela condição v − w ⊥A W .
Segue deste resultado que e j A é minimizado quando escolhemos p = α0p 0 + α1p 1 + . . . + αj−1p j−1 ∈ Wj
tal que e j = e 0 − p satisfaz
e j ⊥A p i para i = 1, . . . , j − 1. (4.72)
Definição. Dois vetores y, z que são ortogonais com respeito ao produto interno 〈·, ·〉 A , isto é, tais que
são chamados conjugados.
〈y, z〉 A = 0
Nosso objetivo então é desenvolver um método em que o erro a cada passo é conjugado com todas as direções
de busca anteriores. O próximo resultado, que é basicamente uma reafirmação da Proposição 4.25, mostra
que em qualquer método de descida em que a busca na reta é exata satisfaz automaticamente e j ⊥A p j−1 ,
isto é, (4.72) é válido para a última iteração (o erro da iteração presente é A-ortogonal à direção de busca
da iteração anterior).
4.27 Proposição. Seja x k+1 = x k + αkp k obtido através de uma busca na reta exata. Então
e
Prova: Temos
r k+1 ⊥ p k
e k+1 ⊥A p k .
b − Ax k+1 = b − Ax k − αkAp k ,
de modo que a seqüência dos resíduos é dada pela fórmula
Logo,
Além disso, como
k+1 k
r , p = r k+1 , p k k k
− αk Ap , p = r k , p k −
r k+1 = r k − αkAp k . (4.73)
Ae k+1 = r k+1 ,
p k , r k
〈p k , Ap k 〉
Ap k , p k = 0.
segue que k+1 k
e , p
A = Ae k+1 , p k = r k+1 , p k = 0.
O significado geométrico deste resultado é que o mínimo do funcional f na reta xk + αkpk ocorre quando a
derivada direcional de f na direção de busca é zero, ou seja,
0 = ∂f k+1
x
∂pk
= ∇f x k+1 k+1
, pk = r , pk .
De acordo com a Proposição 4.27, depois do primeiro passo temos e 1 ⊥A p 0 . Para manter os erros
subseqüentes conjugados a p 0 , como
e k+1 = x − x k+1 = x − x k − αkp k