Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 114
a convergência pode ser muito lenta (matrizes com estas propriedades são chamadas mal-condicionadas; para
que o método de descida acentuada seja lento, a matriz A não precisa ser muito mal-condicionada).
Como vimos na seção anterior, os algoritmos de Gauss-Seidel e SOR podem ser encarados como algoritmos
de descida. A discussão no parágrafo anterior também pode ser usada para entender a relativa lentidão destes
algoritmos.
4.4.3 Método do Gradiente Conjugado
Todos os métodos iterativos que vimos neste capítulo são limitados pela sua falta de memória, no sentido de
que apenas informação sobre x k é usada para obter x k+1 . Toda a informação sobre as iterações anteriores é
deletada. O método do gradiente conjugado é uma variação simples do método da descida mais acentuada
que funciona melhor porque a informação obtida através das iterações anteriores é utilizada.
Para entender brevemente como isso funciona, observe que depois de j iterações x k+1 = x k + αkp k de
um método de descida temos
x j = x 0 + α0p 0 + α1p 1 + . . . + αj−1p j−1 ,
de modo que x j está no subespaço afim gerado pelo chute inicial x 0 e pelos vetores p 0 , p 1 , . . . , p j−1 .
Enquanto o método da descida mais acentuada minimiza o funcional de energia f apenas ao longo das j
retas x k + αkp k , cuja união constitui apenas um pequeno subconjunto de x 0 + p 0 , p 1 , . . . , p j−1 , o método
do gradiente conjugado minimiza f sobre todo o subespaço afim x 0 + p 0 , p 1 , . . . , p j−1 .
Para definir as direções de busca do método do gradiente conjugado (que é, antes de mais nada, um
método de descida), lembramos que o funcional f foi escrito na forma
Defina o erro
Pela regra do paralelogramo, temos
donde
f (y) = 1
2 y2
A − 〈y, x〉 A .
e = x − y. (4.70)
x + y 2
A + x − y2 A = 2 x2 A + 2 y2 A ,
2 y 2
A = x − y2 A + x2 A + 2 〈y, x〉 A + y2 A − 2 x2 A
= x − y 2
A + 2 〈y, x〉 A − x2 A + y2 A ,
ou
y 2
A − 2 〈y, x〉 A = x − y2 A − x2 A .
Logo, podemos escrever
f (y) = 1
2 e2
1
A −
2 x2 A . (4.71)
Conseqüentemente, minimizar o funcional f é equivalente a minimizar a A-norma do erro.
Agora, em um método de descida, depois de j iterações temos:
e j = x − x j = x − x 0 − α0p 0 + α1p 1 + . . . + αj−1p j−1
= e 0 − α0p 0 + α1p 1 + . . . + αj−1p j−1 .
Logo, minimizar ej 2
é equivalente a minimizar
A
e 0 − α0p 0 + α1p 1 + . . . + αj−1p j−1 ,
A
o que por sua vez é equivalente a encontrar a melhor aproximação do vetor e 0 no subespaço Wj = p 0 , p 1 , . . . , p j−1 .
Esta é dada pelo lema da melhor aproximação: