Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 111
ou
f (y) − f (x) = 1
2 (y − x)t A (y − x) . (4.61)
Como A é positiva definida, segue que
e
se e somente se y = x. Portanto,
(y − x) t A (y − x) = 〈A (y − x) , (y − x)〉 0
(y − x) t A (y − x) = 0
f (y) > f (x)
para todo y = x e o mínimo de f ocorre em x.
Em muitos problemas, o funcional f tem significado físico, correspondente a um funcional de energia que
quando é minimizado corresponde a um estado de equilíbrio do sistema. Observe que definindo um produto
interno a partir da matriz simétrica positiva definida A da maneira usual por 〈v, w〉 A = vtAw e considerando
a norma induzida vA = 〈v, v〉 1/2
A , o funcional f pode ser escrito na forma
f (y) = 1
〈y, Ay〉 − 〈y, Ax〉 (4.62)
2
ou
f (y) = 1
2 y2 A − 〈y, x〉 A . (4.63)
Outra maneira de enxergar o resultado do teorema anterior é observar que o gradiente do funcional f é
Se x é um ponto de mínimo temos ∇f (x) = 0, ou seja,
∇f (y) = Ay − b. (4.64)
Ax = b.
Este método variacional é a base dos métodos iterativos de descida em geral, e do método do gradiente
conjugado em particular. A idéia é usar as idéias do cálculo diferencial para encontrar o mínimo do funcional
quadrático f.
4.4.1 Métodos de Descida
A filosofia dos métodos de descida é começar com um chute inicial x 0 e gerar uma seqüência de iterados
x 1 , x 2 , . . . , x k , . . . que satisfazem
f x k+1 f x k
ou, melhor ainda,
f x k+1 < f x k
de tal modo que x k convirja para o minimizador de f. Em outras palavras, em um método de descida
buscamos encontrar uma seqüência minimizante x k que convirja para a solução do sistema.
O passo de x k para x k+1 envolve dois ingredientes: (1) uma direção de busca e (2) um avanço de
comprimento especificado na direção de busca. Uma direção de busca significa a escolha de um vetor p k que
indicará a direção que avançaremos de x k para x k+1 . O comprimento do avanço é equivalente à escolha de
um escalar αk multiplicando o vetor p k . Assim,
x k+1 = x k + αkp k .