Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 107
Se λJ > λc, ω 2 λ 2
J − 4 (ω − 1) > 0 e segue a conclusão como no caso anterior. Se λJ λc, então ω 2 λ 2
J −
4 (ω − 1) 0 e
onde i = √ −1, logo
Λω,λJ =
ω2λ 2
J − 4 (ω − 1) = 4 (ω − 1) − ω2λ 2
Ji,
ωλJ
+ ω2λ 2
J − 4 (ω − 1)
= ω − 1,
2
=
ω 2 λ 2 J +
4 (ω − 1) − ω2λ 2
J
2
e novamente Λω,λJ é uma função crescente de λJ.
Defina
2
ωótimo =
1 + 1 − λ 2
.
J
(4.52)
Note que 1 < ωótimo < 2. Mostraremos que ωótimo é de fato o melhor valor para o fator de relaxamento no
método SOR. Antes precisamos do seguinte resultado:
4.20 Proposição. Seja A a matriz de discretização obtida a partir da fórmula de três pontos unidimensional
ou a partir da fórmula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Então
⎧
⎨ 1
ωλJ ρ (RSOR,ω) =
+ ω
⎩
4
2λ 2
2 J − 4 (ω − 1) se 0 < ω ωótimo,
(4.53)
ω − 1 se ωótimo ω < 2.
Prova. Temos ω 2 λ 2
J − 4 (ω − 1) 0 para 0 < ω < 2 se e somente se ω ωótimo. De fato, as raízes de
f (ω) = ω 2 λ 2
J − 4ω + 4 são
ω± =
4 ± 4 1 − λ 2
J
2λ 2
J
= 2
λ 2
1 ± 1 − λ
J
2
J
de modo que a raiz positiva de f é maior que 2, logo para que f (ω) 0 se 0 < ω < 2, devemos ter
ω 2
λ 2
1 − 1 − λ
J
2
J = 2
λ 2
1 − 1 − λ
J
2
J
1 + 1 − λ 2
2
=
J 1 + 1 − λ 2
.
J
O resultado segue então como na demonstração da proposição anterior.
4.21 Teorema. Seja A a matriz de discretização obtida a partir da fórmula de três pontos unidimensional
ou a partir da fórmula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Então o fator de relaxamento
ótimo para o método SOR é dado por
ωótimo =
é o fator de relaxamento ótimo para o método SOR.
Prova. Se 0 < ω ωótimo, então ω 2 λ 2
J − 4 (ω − 1) 0 e
d
ωλJ + ω
dω
2λ 2
J − 4 (ω − 1) = λJ
2
1 + sen π
n
ω 2 λ 2
J − 4 (ω − 1) + ωλ 2
J − 2
ω2λ 2
.
J − 4 (ω − 1)
(4.54)