Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 106
Reciprocamente, se λJ é um autovalor de RJ e λ ∈ C satisfaz a equação acima, então λ é um autovalor
de RSOR.
Prova. Argumentamos como na demonstração do Teorema 4.12. Para obter o raio espectral da matriz de
iteração RSOR, queremos encontrar os autovalores λ de RSOR:
RSORu = I − ωD −1 L −1 (1 − ω) I + ωD −1 U u = λu,
ou seja, (1 − ω) I + ωD −1 U u = λ I − ωD −1 L u
No caso da matriz de discretização da fórmula de cinco pontos, isso significa encontrar λ tal que
(1 − ω) ui,j + ω
4 ui,j+1 + ω
4 ui+1,j
= λ ui,j − ω
4 ui,j−1 − ω
4 ui−1,j
ou
Fazendo a substituição
e dividindo por µ i+j+1
2 , segue que
1 − ω − λ
ui,j =
ω
1
4 (ui,j+1 + ui+1,j + λui,j−1 + λui−1,j) . (4.48)
ui,j = λ i+j
2 vi,j
vi−1,j + vi+1,j + vi,j−1 + vi,j+1 =
1 − ω − λ
λ 1/2 ω 4vi,j
e daí o resultado.
Resolvendo a equação (4.47) como uma equação quadrática em √ λ, vemos que as duas raízes λ± = 2
λ±
podem ser escritas na forma
λ± = 1
−ωλJ ± ω
4
2λ2 2 J − 4 (ω − 1) . (4.49)
Denotaremos
e por λJ = ρ (RJ) o maior autovalor do método de Jacobi.
Λω,λJ = max (|λ+| , |λ−|) (4.50)
4.19 Proposição. Seja A a matriz de discretização obtida a partir da fórmula de três pontos unidimensional
ou a partir da fórmula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Então
Prova. Por definição,
De (4.49) segue que
Λω,λJ = 1
4
ρ (RSOR,ω) = Λ ω,λJ
ρ (RSOR,ω) = max Λω,λJ
λJ
.
ωλJ +
ω2λ 2
J − 4 (ω − 1)
2
.
(4.51)
Se 0 < ω 1, ω2λ 2
J − 4 (ω − 1) 0 e Λω,λJ é uma função crescente de λJ, logo o máximo é atingido em λJ.
Se ω > 1, defina
4 (ω − 1)
λc =
ω2 .