Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 105
podemos escrever
(1 − ω) + ωz
λ = . (4.46)
1 − ωz
Os argumentos acima assumem que o denominador é não-nulo. E, de fato, temos
Re z = 1
−1 −1
1 x, D L x x, D U x
(z + z) = +
=
2 2 〈x, x〉
〈x, x〉
1
−1 −1 x, D L + D U x
2 〈x, x〉
= 1
−1 x, I − D A x
=
2 〈x, x〉
1
−1 x, D A x
1 −
.
2 〈x, x〉
e como A é positiva definida, D −1 A também é, o que implica
x, D −1 A x
〈x, x〉
donde
Re z < 1
2 .
de modo que a parte real do denominador 1 − ωz de λ é não-nula para 0 < ω < 2. Segue que
|λ| 2 = λλ =
[(1 − ω) + ωz] [(1 − ω) + ωz]
(1 − ωz) (1 − ωz)
> 0
= ω2 − 2ω2 Re z − 2ω + 4ω Re z + 1 − 2ω Re z + ω2 |z| 2
1 − 2ω Re z + ω2 |z| 2
ω (2 − ω) (1 − 2 Re z)
= 1 −
1 − 2ω Re z + ω2 2 .
|z|
Como 0 < ω < 2 e Re z < 1
, temos
2
e concluímos que
ω (2 − ω) (1 − 2 Re z) > 0,
|λ| < 1
= (1 − ω)2 + 2ω (1 − ω) Re z + ω 2 |z| 2
1 − 2ω Re z + ω 2 |z| 2
para todo autovalor λ de R, logo o método SOR converge. A demonstração da recíproca (assim como uma
demonstração alternativa, variacional, deste teorema) pode ser vista em [Young].
Usando o Teorema 4.15, concluímos que o método SOR converge para as matrizes de discretização obtidas
através dos esquemas de diferenças finitas do Capítulo 2 se 0 < ω 1. Isso permite apenas subrelaxamento
do método de Gauss-Seidel, o que em geral reduz a velocidade de convergência. Por outro lado, usando o
Teorema 4.16 ou o Teorema 4.17, concluímos que o método SOR converge para as matrizes de discretização
obtidas a partir da fórmula de três pontos unidimensional e a partir da fórmula de cinco pontos bidimensional
se 0 < ω < 2, já que estas são matrizes simétricas, positivas definidas (já as matrizes de discretização obtidas
através de coordenadas polares ou pelo esquema de Shortley-Weller não são simétricas, em geral, como
vimos).
Em seguida fazemos uma análise da velocidade de convergência do método SOR para a matriz de discretização
da fórmula de cinco pontos, bem como obtemos o melhor valor do fator de relaxamento ω para
este caso.
4.18 Lema. Seja A a matriz de discretização obtida a partir da fórmula de três pontos unidimensional ou
a partir da fórmula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Se λ = 0 é um autovalor de RSOR,
então existe um autovalor λJ de RJ tal que
λJ =
1 − ω − λ
λ1/2 . (4.47)
ω2