Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 102
ou
Se λ1, . . . , λn são os autovalores de R, então
Mas,
R = I − ωD −1 L −1 (1 − ω) I + ωD −1 U . (4.44)
det R = λ1 . . . λn.
I −1 −1 −1
det R = det − ωD L (1 − ω) I + ωD U
= det I − ωD −1 L −1 −1
det (1 − ω) I + ωD U
= (1 − ω) n ,
já que I − ωD −1 L é uma matriz triangular inferior com apenas 1 na diagonal principal e (1 − ω) I + ωD −1 U
é uma matriz triangular superior com apenas 1 − ω na diagonal principal. Logo
λ1 . . . λn = (1 − ω) n .
Em particular, pelo menos um dos autovalores λj de R deve satisfazer
|λj| |1 − ω| .
Mas, se o método SOR converge, devemos ter também |λ| < 1 para todo autovalor λ de R. Logo
donde
|1 − ω| < 1,
0 < ω < 2.
4.14 Corolário. Se R é a matriz de iteração n × n para o método SOR, então
det R = (1 − ω) n .
Em particular, diferente das matrizes de iteração dos métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel (para a matriz de
discretização de cinco pontos), zero não é um autovalor para a matriz de iteração do método SOR se ω = 1
(para nenhuma matriz).
4.15 Teorema. Se A é uma matriz irredutível, diagonalmente dominante tal que |aii| > n
|aij| para pelo
menos alguma linha i, então o método SOR converge se 0 < ω 1.
Prova. A demonstração é análoga à do Teorema 4.11. A matriz de iteração do método SOR é
R = I − ωD −1 L −1 (1 − ω) I + ωD −1 U .
Suponha por absurdo que exista um autovalor λ de R tal que |λ| 1; temos
Agora, observando que
det I − λ −1 R = det
j=1
j=i
I − λ −1 I − ωD −1 L −1 (1 − ω) I + ωD −1 U
= 0.
det I − ωD −1 L = 1