Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 99
Estes são os autovalores da matriz de iteração de Jacobi para a matriz de discretização obtida a partir da
fórmula de cinco pontos (observe que elas possuem os mesmos autovetores; no entanto R possui autovalores
nulos). Segue que o máximo autovalor ocorre quando k = l = 1, logo
ρ (R) = cos π
n .
O argumento para a fórmula de três pontos é análogo.
Para o quadrado unitário temos
ρ (R) = cos (π∆x) . (4.37)
Vemos em particular que ρ (R) → 1 quando ∆x → 0, de modo que a velocidade de convergência do método
de Jacobi vai ficando cada vez menor para malhas mais refinadas. Podemos dizer mais usando a expansão
da função cosseno em torno da origem
se ∆x é pequeno podemos aproximar
cos x = 1 − 1
2 x2 + O x 4 ;
cos (π∆x) ≈ 1 − π2
2 ∆x2 ,
de modo que ρ (R) → 1 quadraticamente quando ∆x → 0. Em outras palavras, para uma malha duas vezes
mais refinada (isto é, ∆x reduzido pela metade), o método de Jacobi é cerca de quatro vezes mais vagaroso
em média (consulte novamente a tabela no final da seção anterior). A tabela abaixo mostra os valores do
raio espectral para alguns valores de ∆x:
∆x 0.1 0.05 0.025
ρ (R) 0.9511 0.9877 0.9969
Para ∆x = 0.025 (correspondente a uma matriz de tamanho n = 39 × 39 = 1521), temos
R∞ (R) = − log 10 (0.9969) = 0.0013484,
de modo que para reduzir o erro pelo fator de uma casa decimal precisamos de
iterações.
m = log 10 0.1
log 10 ρ (R)
1
= −
log10 ρ (R) =
1
≈ 742
0.00135
4.3.2 Convergência do Método de Gauss-Seidel
4.11 Teorema. Se A é uma matriz irredutível, diagonalmente dominante tal que |aii| > n
|aij| para pelo
menos alguma linha i, então o método de Gauss-Seidel converge.
Prova. Sejam D a parte diagonal, −L a parte triangular inferior estrita e −U a parte triangular superior
estrita da matriz A, e seja R = (D − L) −1 U a matriz de iteração do método de Gauss-Seidel para A.
Escrevemos
R = (D − L) −1 U = D I − D −1 L −1 U
ou
j=1
j=i
R = I − D −1 L −1 D −1 U. (4.38)