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podemos escrever os vetores posição neste sistema como
RCM = M1R1 + M2R2
M1 + M2
R = R2−R1
onde RCM é o vetor posição do centro de massa e R é o vetor posição relativa entre os dois
núcleos. Assim, a equação (4.1) pode ser reescrita como
− 1
1
2 M ∇2CM + 1
µ ∇2
R ξα(RCM, R) + E ele
α (RCM, R)ξα(RCM, R) = Emolξα(RCM, R)
(4.2)
sendo M = M1 + M2 é a massa total dos dois núcleos e µ = M1M2/M é a massa reduzida
entre os dois núcleos; o subescrito CM indica que as derivadas devem ser tomadas em
relação as coordenadas do centro de massa e o subescrito R em relação as coordenadas rela-
tivas. Considerando o sistema de referência na posição do centro de massa, já que estamos
considerando o sistema isolado de influências externas podemos reescrever a equação (4.2)
como segue:
− 1
2µ ∇2 Rξ α(R) + E ele
α (R)ξ α(R) = Emolξ α(R), (4.3)
onde desconsideramos o movimento do centro de massa da molécula diatômica. Escrevendo
o vetor posição relativa nas coordenadas esféricas que, em função das coordenadas carte-
sianas do mesmo vetor, são descritas por
podemos escrever a equação (4.3) como
− 1
2µ
1
R 2
∂
∂R
2 ∂
R
∂R
R = x 2 + y 2 + z 2 θ =
1/2
,
arccot z/ x 2 + y 21/2
e
φ =
arccos x/ x 2 + y 21/2
,
+
1
R 2 sin θ
∂
sin θ
∂θ
∂
+
∂θ
1
R 2 sin 2 θ
∂2 ∂φ 2
ξα(R, θ, φ)+
+E ele
α (R)ξ α(R, θ, φ) = Emolξ α(R, θ, φ) (4.4)
Por separação de variáveis, ξ α(R, θ, φ) = Ψ(R)Θ(θ)Φ (φ) /R, podemos assumir que
o produto de funções Θ(θ)Φ (φ) = YLM(θ, φ) são as funções conhecidas como harmônicos
esféricos que satisfazem à equação
−
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ ∂
∂θ
+ 1
sin 2 θ
∂2 ∂φ 2
Ylm(θ, φ) = L(L + 1)YLM(θ, φ), (4.5)