Texto Completo em PDF - Programa de Pós-Graduação em Física ...

moléculas que emitem um fóton passando do estado n para o estado l é o mesmo número
de moléculas que estando no estado l absorvem um fóton e passam para o estado n, i.e.,
que resulta em
Nn (An→l + 2πBn→lρ ω) = Nl2πBl→nρ ω,
ρ ω =
An→l/2π
Nl
Nn Bl→n − Bn→l
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. (2.5)
Porém, para um gás em equilíbrio térmico à temperatura absoluta T o número
de moléculas em um determinado estado de energia é proporcional ao fator de Boltzmann.
Conseqüentemente, a razão entre os números de moléculas dos dois estados de energia
diferentes é igual a
Nl
Nn
= e (En−El)/kT = e ω/kT , (2.6)
onde k é a constante de Boltzmann. Assumindo que ω ≪ kT (limite clássico), podemos
escrever a equação (2.6) da seguinte forma:
ficando a equação (2.5) rescrita assim:
Nl
Nn
≈ 1 + ω
kT ,
An→l/2π
ρω =
. (2.7)
Bl→n − Bn→l + ω/kT Bl→n
Por outro lado, no mesmo limite clássico, a densidade de energia ρ ω é expressa
pela fórmula de Rayleigh,
ρω = ω2
π2 kT.
c3 (2.8)
Para que as equações (2.7) e (2.8) sejam iguais, temos que
Bn→l = Bl→n e (2.9)
An→l
Bn→l
= 2ω3
. (2.10)
πc3 Substituindo estes resultados em (2.5) encontramos a fórmula de Planck
ρ ω = An→l/2πBn→l
e ω/kT − 1 = ω3 /π 2 c 3
e ω/kT − 1 .
Podemos a partir deste resultado afirmar que a razão entre as taxas de probabilidade de
emissão espontânea e estimulada é igual a
An→l
2πBn→lρ ω
= e ω/kT − 1.
Somente em 1927, Dirac conseguiu determinar estes coeficientes [25]. Nós os en-
contramos na próxima seção empregando um método perturbativo dependente do tempo.