Texto Completo em PDF - Programa de Pós-Graduação em Física ...

Assumindo que podemos escrever R(y) = −edy (2dy) b/2F (y), encontramos
y ∂2F (y)
∂2 (y)
+ (b + 1 − 2dy)∂F
y ∂y +
W b2 1
+
a2 4 y −
− bd + d − 2D′
a2
+ d 2 − D′
a2
y F (y) = 0
e tomando 2dy = z,
z ∂2F (z)
∂2 (z)
+ (b + 1 − z)∂F
z ∂z +
W b2 1
+
a2 4 z −
b 1 D′
− + −
2 2 da2
1 D′
+ −
4 4a2d2
z F (z) = 0.
Podemos simplificar a equação devido a arbitrariedade sobre os parâmetros b e d
assumindo que D ′ = a 2 d 2 e W/a 2 = −b 2 /4, e a expressão acima fica igual a
z ∂2 F (z)
∂ 2 z
+ (b + 1 − z)∂F (z)
∂z +
d − b 1
−
2 2
F (z) = 0.
A equação acima é conhecida como a equação generalizada de Laguerre se d −
b/2 − 1/2 = ν, onde ν é um inteiro não negativo e suas soluções são funções polinomiais
finitas conhecidas como polinômios generalizados de Laguerre. Assim, da relação entre o
coeficiente da função F (z) na equação diferencial acima
D ′
a2 b 1
− − = ν ⇒
d 2 2
b = −1 − 2ν = k − (2ν + 1) ,
onde k = 2D ′ /a 2 d. Como W/a 2 = −b 2 /4 e b é dado acima, temos que
W
a2 = −k2 − 2k(2ν + 1) + (2ν + 1) 2
⇒
4
W = − k2a2 4 + ka2 (ν + 1
2 ) − a2 (ν + 1
2 )2 ,
substituindo os valores de W e k encontramos
Emol = − D′ 2 2µ + D′ 2 1
(ν +
µd 2 ) − a22 1
(ν +
2µ 2 )2 .
103
Como D ′ = 2µD/ 2 , podemos escrever aproximadamente a energia de uma molécula
diatômica vibrando em um estado de energia eletrônica estável como
2D
Emol = −D + a
µ (ν + 1
2 ) − a22 1
(ν +
2µ 2 )2 .